资源描述：
《圆锥曲线焦点弦性质的推广》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、6(自然une2003年月阜阳师范学院学报科学版)J2003ou...2rnaouyangTeaeersoegeaturaeeneeoo第20卷第期JlfFhCll(NlSi)Vl20N2圆锥曲线焦点弦性质的推广鲍倚敏(安徽电子信息职业技术学院233040)摘要本文利用,.圆锥曲线的统一方程将文〔1」中圆锥曲线特殊的焦点弦性质推广到了一般的焦点弦的情形关;焦点弦,准线键词圆锥曲线.:1522:1004一4529(2005)02一0050一03分类号0文献标识码A文章编号,。文「l]给出了圆锥曲线焦点弦
2、的一个有趣性质即文[1」中的定理1和命题1定理11]过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于尸、,l、A:,l尸Z两点QA为椭圆长轴上的顶点A和AQ交,Z,。于点MA尸和式Q交于点N则对尸上N尸I、:,命题1[l]设AA是椭圆长轴上的两个顶点过F尸、,l一个焦点的直线与椭圆交于Q两点则直线A尸AZ(如图。与Q的交点在距点F较近的准线上1)I:,:由于AA也是过焦点的弦因此我们自然会考虑,对于圆锥曲线的过同一焦点的任意两条弦是否也有类,,似的结论呢?经推导得到如下定理2及定理3是文〔l]中圆锥曲线焦点弦性质的推
3、广。定理2过圆锥曲线一焦点F的任二弦与圆锥曲尸、、Al、。,I尸Z,Z尸线交于点QAA和AQ交于点MA和,、l,尸。A应交于点N则MN在与F较近的准线上且对土NF,:证明如图2设圆锥曲线的极坐标方程为eP1一eeos夕。。,,x其中为离心率F(0的为焦点准线l的方程为一一。。,l,君。,P设点P的极角为点A的极角为月则当并1干eeosa,。eos,、、:、:护。i干月并。时尸Q八八四点的直角坐标:分别为.几月门.卫.口了夕.‘、矛、e户eosaePsina’l一eeosa1一eeos口~域丈了一一忿汽
4、_ePcosa_兰之塑些匕1+ecosa1+eeosa州万,万,产嘿澄嘿{图2:;:收稿日期2002一12一30修改口期2003一02一21,,。,。:.:鲍倚敏1954一)作者简介(女浙江邹县人安徽电子信息职业技术学院讲师研究方向初等数学:第2期鲍倚敏圆锥曲线焦点弦性质的推广ePeos_e户sin月刀A’一l+。eos月1十eeos月Al尸:直线的方程为sina_sin夕~一二红些丝竺)+~二些边-(x些.旦旦旦(2)COSa_-色一l一君COS口1一己COS口1一ecosa1一eeos尹Z:直线A
5、Q的方程为snasni_i月1+eeosal+eeos月逻)一二兰cos(x长.卑粤牛户(3)_月1-t己C05al寸.己COS口1+eeosal+eeos月~,,解方程(2)(3)得M点的坐标为M一,一,5ina一sin月。inasin,尸:l一尹(cosaeos材的斜率为k一eosaeos.一口一夕.,,~。一,,一:类似地得““的坐标“,的斜率为概一州黯概昙{NF恶丰默、:、l。k:-一,尸上NF。由MN的坐标知MN在准线上由lk1得材。~,,,。,pQA:,(i)当0时方程(1)是圆焦点即为圆
6、心准线在无穷远处此时和AI是圆的两条直径,Z,,,。A尸AQ是矩形对边互相平行可看作在无穷远处相交(因此交点在准线上)这是极限情况a,,a,(i)当1干ecos与1干ecos召有一个等于零时由于此类情况类似以1一ecos二。为例进行讨论此。。>1。一1两种情况时分与。·,,Cos,S,tg·。,,。(,当>‘时方程‘,,为双曲线此时一in一互(其中,O,一告号一合>分别为,。,,双曲线的实半轴虚半轴和半焦距)这时焦点弦尸Q与双曲线的渐近线平行(斜率为)与双曲线只有-音,。:,::个交点Q而点尸在无穷远
7、处设AQ与准线l交于点N则仿上可得N八的斜率为一snasn二兰丛卫色二i+i夕,.八刃「1.-t.己COSP~_,兰旦旦旦,,二._二_n,飞一1l月一七CU吕P一ls如l.力d一ly将君一O一减g卜化简得声一k;aA:,:因此N/尸Q即过A且平行于尸Q的直线,(由于尸为无穷远点因此这就是A:尸与的连线)与.直线AI1.上。AZQ和Q的交点N在准线类似可得直线::过A且平行尸Q的直线(即A与尸的连线)的交点也在准线l上。从而定理的结论仍是成立的。里e~,,a,(b)当1时方程(l)为抛物线此时~O,尸
8、Q是抛物线的对称轴与抛物线只有一个交点为顶,,点另一点则为无穷远点这就是文【l]中定理3的情,。形本文不再赘述定理3设过圆锥曲线焦点的弦与圆锥曲线交、,、、,于点尸Q11l:分别是过PQ的切线l是与F较近图3,1、2、,。的准线则11l三线共点M且五夕尸土尸QF到l,,,证明设圆锥曲线的焦点准线的距离为P以F为原点建立如图3所示的直角坐标系则F(0,:,:0)lx一一户圆锥曲线的统一方程为阜阳师范学院学报(自然科学版)第20卷52(l一eZ)xZ+夕2一
