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1、2002年第7期 数学教学研究31综上可知,当x∈[2,0]时,f(x)的解析式为f(x)=3-
2、x+1
3、.圆锥曲线焦点弦的性质及应用李朝闻(甘肃省兰州市土门墩厂办联中 730050)定理1 过圆锥曲线焦点的直线l对于过焦点点,则AB的长为的对称轴的倾斜角为α,且与圆锥曲线交于A、B两2ep
4、AB
5、=22(p为焦点到准线的距点,若焦点F分弦AB所成的比为λ,则
6、1-ecosα
7、离).1+ecosαλ=.(e为离心率)1-ecosα证明 当焦点内分弦AB时,有证明 过焦点F
8、AF
9、=λ,
10、FB
11、=ρB,作准线的垂线,垂足为
12、FB
13、K,以焦点F为极点,FK∴
14、AB
15、
16、=
17、AF
18、+
19、FB
20、的反向延长线为极轴,=(1+λ)
21、FB
22、=(1+λ)ρB如图1,建立极坐标系,=2·ep1-ecosα1+ecosα则圆锥曲线的极坐标方2ep程为=22; 图11-ecosαep当焦点F外分弦AB时,有ρ=12ecosθ
23、AF
24、(允许ρ<0),
25、FB
26、=-λ,
27、FB
28、=-ρB,∴ρep∴
29、AB
30、=
31、FB
32、-
33、FA
34、=(1+λ)
35、FB
36、A=,1-ecosα2epepep=-(1+λ)ρB=-22.ρB==.1-ecosα1-ecos(π+α)1+ecosα2epAFAFρA1+ecosα综上可得
37、AB
38、=22.∵=λ,==,
39、1-ecosα
40、FBFBρB1-e
41、cosα说明 由圆锥曲线的对称性可知,在求过圆锥1+ecosα∴λ=1-ecosα.曲线的焦点的弦长时,角α可统一为弦AB对极轴正说明(1)由圆锥曲线的对称性及证明可知,当方向的倾角,此时不必考虑曲线的左右焦点.F为椭圆的左焦点、双曲线的右焦点及抛物线的焦在定理2中,由于分子为定值,因此当焦点F内点时,角α是弦AB对极轴正方向的倾角;当F为椭圆2分弦AB且cosα=0,即α=90°时,分母最大,所以2的右焦点、双曲线的左焦点时,角α是弦AB对极轴反
42、AB
43、的值最小;当焦点F外分弦AB且cosα=1即方向的倾角.α=0°时,分母最大,所以
44、AB
45、的值最小,于是有如(2)当焦点F内分弦AB
46、时,λ>0,此时弦AB在下推论.圆锥曲线的内部(含焦点的区域);当点F外分弦AB推论 过圆锥曲线焦点的所有弦中,以垂直于时,λ<0,此时弦AB在圆锥曲线的外部(只有双曲过圆锥曲线焦点的轴的弦为最短,其最小值为2ep;线才有这种情形).延长线过圆锥曲线焦点的所有弦中,以过圆锥曲线定理2 过圆锥曲线焦点的直线l对于过焦点两顶点的弦最短,其最小值为2a.的对称轴的倾斜角为α,且与圆锥曲线交于A、B两下面通过实例介绍定理的应用.32数学教学研究2002年第7期2解 设F(c,0)直线l的倾角为α,则2y例1 过双曲线x-=1的右焦点F的直线42cbl与双曲线交于A、B两点,若F分弦AB为2∶1
47、,求直e=a,p=c.∵
48、AB
49、=22,线l的方程.22∴ a+b=8.(1)解 设直线l与x轴的倾角为α,由题意得又tanα=3,∴α=60°.F(5,0),e=5,2ep2由定理2,有22=×2a,AF1-ecosα5若=2,由定理1得2FBcb2··1+5cosα1即ac=4a,=2,解得cosα=.c251-5cosα3521-2cos60°a∴ secα=35,tanα=211.22b1BF1整理得3a2+b2=5(2).若=,由定理1得FA222由(1)、(2)联立解得a=6,b=2.1+5cosα1=,x2y21-5cosα2所求椭圆方程为+=1.621解得cosα=-
50、.例4(2000年全国高考题)已知梯形ABCD中,35
51、AB
52、=2
53、CD
54、,点E分有向线段AB所成的比为λ,∴secα=-35,tanα=-211.2所以直线l的方程为y=±211(x-5),双曲线过C、D、E三点,且以A、B为焦点,当3≤λ即211x+y-255=03≤时,求双曲线离心率e的取值范围.4和211x-y-255=0.2解 如图2,以线例2 过抛物线y=4x的焦点F作倾角为45°段AB所在直线为x轴,的弦AB,求弦AB的长度及弦的中点Q到F的距离.2线段AB的垂直平分线解 由y=4x,知p=2,e=1,α=45°.为y轴建立直角坐标系.代入定理2中,得设过C、D、E三点2
55、×1×24
56、AB
57、=2==8.21-cos45°1x1-的双曲线方程为2-2a
58、AF
59、y2 图2设
60、FB
61、=λ,则由定理1知2=1,则
62、AB
63、=2c,b1+cos45°2+2λ==c1-cos45°2-2
64、CD
65、=c,C(2,yC).=3+22.又设∠CAB=α,∵
66、AB
67、=
68、AF
69、+
70、FB
71、=(1+λ)
72、FB
73、,AEEAλ∵=λ,∴=-.ECAC1+λ
74、AB
75、8∴
76、FB
77、=1+λ==42.由定理1,得4+22由弦AB的倾角为45°,知
