圆锥曲线焦点弦性质

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1、圆锥曲线焦点弦的性质圆锥曲线焦点弦是现行高中解析几何教材的重要内容之一，既是重点，又是难点.在数学中，我们常常是利用性质去讨论问题，因此，文章首先探讨了圆锥曲线焦点弦的性质，然后再讨论这些性质的应用.圆锥曲线焦点弦具有不少性质，许多教师或专家已做过研究..作为一个有机整体的圆锥曲线焦点弦，探求其所具有的共同特征的性质应该是一件非常有意义的事情.现代的教学理念要求教师要善于引导学生研究一些难易适中的数学问题，研究它的性质和应用，这样做，对学生的思维训练是非常有益的，不但对原数学问题理解得更加深刻，而且还发现一些具有规律性的结论

2、，另一方面，研究和应用也是一种发现和创新的过程.国外对圆锥曲线焦点弦性质应用的研究主要是用于解决诸如计算机科学、物理学、军事科学（导弹发射原理）、工程技术学及金融贸易等领域的高端计算问题，在教学理论上对圆锥曲线焦点弦性质应用探讨也很多.美国著名数学教育家G.波利亚（2005）在文献中介绍的圆锥曲线焦点弦在计算机科学领域中的应用.美国的芬尼(R.Finney)（2003）在另一文献中介绍的圆锥曲线焦点弦性质在科学及工程领域中的几种应用，与加拿大的史迪沃特（J.Stewart）（2004）在文献中介绍的圆锥曲线焦点弦性质在解决物

3、理问题中的应用理论，具有一定的新颖性及借鉴价值.上述文献中给出了圆锥曲线焦点弦性质应用理论的不同研究与探讨，充分展示了圆锥曲线焦点弦性质的重要性与广泛性，但其还有值得研究的空间和余地，其中关于圆锥曲线焦点弦性质应用理论的研究，国内相对于国外范围较广，并且研究的许多问题及结论都有借鉴的价值，可以作为写作论文的基础理论；而国外更多的研究主要在于将圆锥曲线焦点弦性质的应用理论用于解决诸如计算机科学、物理学，军事科学（导弹发射原理），工程技术学及金融贸易等领域的高端计算问题，故不易作为圆锥曲线焦点弦性质应用在求解代数问题中应用理论的

4、探究基础.鉴于国内外的研究现状，圆锥曲线焦点弦的性质应用在求解代数问题中通常是应用于解决计算及一些简要的证明问题.选题的意义是通过对圆锥曲线焦点弦性质应用在求解代数问题中的应用进行深入的探究及推广，从而使圆锥曲线焦点弦性质的应用功能得到充分的体现，为圆锥曲线焦点弦性质应用于求解代数问题提供一定的方法依据，同时也为应用数形结合的数学思想方法解决实际问题提供一定的理论依据.圆锥曲线焦点弦的性质椭圆焦点弦的性质定义设椭圆()，过焦点的直线交椭圆于、两点，则线段叫椭圆焦点弦.性质1过椭圆焦点弦的两个端点分别作椭圆的切线，则两切线的交

5、点必在椭圆对应的准线上且该点与焦点的连线与焦点弦垂直[4].证明设椭圆()的左焦点为，过的直线交椭圆于、两点，过、两点分别作椭圆的切线，设其交点为，设、、.由、、三点共线，得(1)当、存在时，，即，①过椭圆上任一点的切线方程为，切线的方程为，即，②同理可知切线的方程为，③两式相除得，将①代入得，所以点必在左准线上，由②及得，所以点的坐标为.从而==-，.所以.=-1，故.（2）当不存在时，以上结论也成立.性质2是经过椭圆的焦点为且倾角为的弦，椭圆的离心率为，则有（1）当、两点在轴的同侧时，；（2）当、两点在轴的异侧时，[5]

6、.证明（1）由对称性，不妨设为右焦点，由题意知所以，即.（2）由题意知，所以，即.例1（2008年北京市海淀区高考模拟题）经过椭圆()的焦点为作倾角为的直线，若与椭圆的两个交点都在轴的同一侧，求椭圆离心率为的取值范围[6].解由题意知直线与椭圆的两个交点都在轴的同一侧，所以，又因为，所以.性质3　过椭圆的焦点为且倾角为的直线与椭圆交于点和点，点是椭圆的中心，则的充分必要条件是=[7].证明不妨设焦点为右焦点，则的方程为代入椭圆方程整理得　　　　.　　　　　　　设、，因为，所以则，所以，即，，亦即　　　　，　　　　　　　　　　

7、　　　　　　②将方程①的两根之积与和代入②化简得，即，所以.性质4设椭圆过右焦点的直线与椭圆交于点、两点，且、两点在右准线上的射影分别为、，则直线、与轴三线共点[8].证明设、，由椭圆的第二定义得，所以.设直线、与直线交于点、，因为，所以.同理.所以、两点重合，即直线、与轴三线共点.性质5过椭圆一个焦点的直线与椭圆交于点、，、为椭圆长轴上的顶点，和交于点，和交于点，则[9].图1证明如图1所示，设椭圆的方程为，则可设点的坐标为点、的坐标分别为、，则的方程为，①的方程为，②由①②得，③由于点、、共线，则有，化简，得，所以.又因

8、为，所以，④将④式代入③式，得，所以点的坐标为，同理点的坐标为，所以，即.双曲线的焦点弦的性质定义设双曲线，过焦点直线交双曲线于A、B两点，则线段叫双曲线的焦点弦.性质1过双曲线焦点弦的两个端点分别作双曲线的切线，则两切线的交点必在双曲线对应的准线上且该点与焦点的连线与焦点弦垂直[10].