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1、专题突破四 焦点弦的性质一、焦点弦性质的推导例1 抛物线y2＝2px(p>0)，设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F是抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，A，B在准线上的射影为A1，B1.证明：(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；(2)若直线AB的倾斜角为θ，则
2、AF
3、＝，
4、BF
5、＝；(3)
6、AB
7、＝x1＋x2＋p＝(其中θ为直线AB的倾斜角)，抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦；(4)＋＝为定值；(5)S△OAB＝(θ为直线AB的倾斜角)；(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；(7)A，O，B1三点共线，B，O，A
8、1三点也共线．二、焦点弦性质的应用例2 (1)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )A.B.C.D.答案 D(2)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则
9、AB
10、＋
11、DE
12、的最小值为( )A．16B．14C．12D．10答案 A跟踪训练 过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若
13、AB
14、＝，
15、AF
16、<
17、BF
18、，则
19、AF
20、＝________.答案 1．过抛物线y＝2x2的焦点且垂直于它的对
21、称轴的直线被抛物线截得的弦长为( )A．2B．1C.D.答案 D2.直线l过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若
22、AB
23、＝8，则直线l的方程为( )A．y＝－x＋1B．y＝x－1C．y＝－x＋1或y＝x－1D．以上均不对答案 C3．直线l过抛物线y2＝－2px(p>0)的焦点，且与该抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )A．y2＝－12xB．y2＝－8xC．y2＝－6xD．y2＝－4x答案 B4．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若
24、AB
25、＝7，则AB
26、的中点M到抛物线准线的距离为________________．答案 5．过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，若点A，B在抛物线准线上的射影分别为A1，B1，则∠A1FB1为________．答案 90°一、选择题1．已知AB是过抛物线y＝2x2的焦点的弦，若
27、AB
28、＝4，则AB的中点的纵坐标是( )A．1B．2C.D.答案 D2．若抛物线y2＝2px(p>0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点F的距离的关系是( )A．成等差数列B．既成等差数列又成等比数列C．成等比数列D．既不成等比数列也不成等差数列答案 A3．抛物线x2＝4y的焦
29、点为F，过点F作斜率为的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于点A，过点A作抛物线准线的垂线，垂足为H，则△AHF的面积是( )A．4B．3C．4D．8答案 C4．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线l交抛物线于A，B两点，且
30、AF
31、>
32、BF
33、，则的值为( )A．3B．2C.D.答案 A5．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＋y的最小值为( )A．4B．6C．8D．10答案 C6．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，若它们的横坐标之和等于5，则这样的直线(
34、 )A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在答案 B7.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若
35、BC
36、＝3
37、BF
38、，且
39、AF
40、＝4，则p的值为( )A.B．2C.D.答案 C8．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若
41、AF
42、＝3
43、BF
44、，则l的方程为( )A．y＝x－1或y＝－x＋1B．y＝(x－1)或y＝－(x－1)C．y＝(x－1)或y＝－(x－1)D．y＝(x－1)或y＝－(x－1)答案 C9．已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B
45、分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则
46、AC
47、＋
48、BD
49、的最小值为( )A．2B．3C．4D．6答案 A10.如图，过抛物线x2＝4y焦点的直线依次交抛物线和圆x2＋(y－1)2＝1于点A，B，C，D，则
50、AB
51、·
52、CD
53、的值是( )A．8B．4C．2D．1答案 D二、填空题11．一条直线过点，且与抛物线y2＝x交于A，B两点．若
54、AB
55、＝4，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于________．答案 12．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若
56、AF
57、＝3，则△AOB的面积为________．答案
