抛物线焦点弦性质

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1、标准实用抛物线焦点弦性质总结一、基础回顾：1.以AB为直径的圆与准线相切；2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.A、O、三点共线；9.B、O、三点共线；10.；11.（定值）；文案大全标准实用1.；；2.垂直平分；3.垂直平分；4.；5.；6.；7.；8.;9.;10..11.切线方程高考资源网www.ks5u.com性质深究一)焦点弦与切线1、过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有何特殊之处？结论1：交点在准线上先猜后证：当弦轴时，则点P的坐标为在准线上．证明:从略结论2切线交点与弦中点连线

2、平行于对称轴结论3弦AB不过焦点即切线交点P不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．2、上述命题的逆命题是否成立？结论4过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点先猜后证：过准线与x轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB的弦必过焦点．文案大全标准实用结论5过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径．3、AB是抛物线（p＞0）焦点弦，Q是AB的中点，l是抛物线的准线，，，过A，B的切线相交于P，PQ与抛物线交于点M．则有结论6PA⊥PB．结论7PF⊥AB．结论8M平分P

3、Q．结论9PA平分∠A1AB，PB平分∠B1BA．结论10结论11二)非焦点弦与切线思考：当弦AB不过焦点，切线交于P点时，也有与上述结论类似结果：结论12①，结论13PA平分∠A1AB，同理PB平分∠B1BA．结论14结论15点M平分PQ结论16二、经典问题：（1）抛物线——二次曲线的和谐线椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇

4、章.例1、P为抛物线上任一点，F为焦点，则以PF为直径的圆与y轴（）相交相切相离位置由P确定解如图，抛物线的焦点为，准线是.作PH⊥于H，交y轴于Q，那么，文案大全标准实用且.作MN⊥y轴于N则MN是梯形PQOF的中位线，.故以PF为直径的圆与y轴相切，选B.注：相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则分别是相离或相交的.（2）焦点弦——常考常新的亮点弦有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的.例2、过抛物线的焦点F作直线交抛物线于两点，求证：（1）（2）

5、证明（1）如图设抛物线的准线为，作，.两式相加即得：（2）当AB⊥x轴时，有成立；当AB与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为：.代入抛物线方程：.化简得：∵方程（1）之二根为x1，x2，∴..文案大全标准实用故不论弦AB与x轴是否垂直，恒有成立.（3）切线——抛物线与函数有缘有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的基本功.例3、证明：过抛物线上一点M（x0，y0）的切线方程是：y0y=p（x+x0）证明对方程两边取导数：.由点斜式方程：y0y=p（x+x0）（4）定

6、点与定值——抛物线埋在深处的宝藏抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们，在解题中常会有意想不到的收获.例：1.一动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则此动圆必过定点（）显然.本题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B.2.抛物线的通径长为2p；3.设抛物线过焦点的弦两端分别为，那么：以下再举一例例4、设抛物线的焦点弦AB在其准线上的射影是A1B1，证明：以A1B1为直径的圆必过一定点分析：假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么A1B1=AB=2p，而A1B1与AB的距离为p，可知

7、该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对AB的一般情形给于证明.证明：如图设焦点两端分别为，文案大全标准实用那么：设抛物线的准线交x轴于C，那么.这就说明：以A1B1为直径的圆必过该抛物线的焦点.●通法特法妙法（1）解析法——为对称问题解困排难解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题等）.例5、已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则

8、AB

9、等于（）A.3B.4C.3D.4分析：直线AB必与直线x+

10、y=0垂直，且线段AB的中点必在直线x+y=0上，因得解法如下.解∵点A、B关于直线x+y=0对称，∴设直线AB的方程为：.由设方程（1）之两根为x1，x2，则.设AB的中点为M（x0，y0），则.代入x+y=0：y0=.故有.从而.直线AB的方程为：.方程（1）成为：.解得：，从而，故得：A（-2，-1），B（1，2）.，选C.（2）几何法——为解析法添彩扬威虽然解析法使几何学得到长