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1、抛物线的焦点弦【教学背景】前面已经学习了抛物线的定义、标准方程、抛物线的几何性质以及抛物线与直线的位置关系，通过对抛物线过焦点的弦的性质研究，达到优化学生的认知结构，同时抛物线过焦点的弦的性质又是历届模拟考和高考的热点，女口2001年的高考题就出现两个题目。【问题探究】【探究1】求弦长
2、AB
3、。ABAF
4、BF（xi号）（X2#）xiX2p。【结论1】ABx1x2p。【探究2】还有没有其他方法求弦长
5、AB
6、？（1）当时，直线L的斜率不存在，此时AB为抛物线的通径2AB2p结论得证;⑵当时，设直线L的方程为:(x少an，即:x
7、ycot-，代入抛2物线方程得：y22pyCOtp20，由韦达定理yiy22p,yiy2pcot，由弦长公式得AB,1cot2【结论【探究2sin【结论【探究yiy2【结论yi目22p(1cot2)2p.2。sin若直线I的倾斜角为，则弦长AB过焦点的所有弦中，何时最短？.2p_i12Psin过焦点的弦中通径长最小。从刚才的解题过程中我们能否发现了AB的最小值为2p，Xi2yi—x2p2y22px1x24】⑴丫皿2p；(2)xix2=42p.2。sin2p。A、B两点的坐标关系?22(yiy2)p。4P24【探究5】以AB
8、为直径的圆与抛物线的准线的位置关系？设M为AB的中点，过A点作准线的垂线AAi,过B点作准线的垂线BBi,过M点作准线的垂线MMi，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知：MMiaa1lBBi竺__竺，所以二者相切。222【探究6】连接AiF、BiF贝UAiF、BiF有什么关系？AAiAF,AAiFAFAiAAi//OFAAiFAiFOAiFOAiFA同理BiF0BiFBAiFBi90AiFBiF。【结论6】AiFBiF。【结论5】以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。【探究7】刚才我们证得AiFBi为直角三角形，那么图形中还有
9、哪些直角三角形?由“探究5”知Mi在以AB为直径的圆上AMiBMi。由“探究6”知AiFBi为直角三角形，Mi是斜边AiBi的中点,AiMiMiFMiFAiMiAiFAAiFAFAi，AAiFFAiMAAiMi90，AFAiAiFMi90，MiFAB。【结论7】AMiBMi，MiFAB。进而可得如下结论：以AiBi为直径的圆与直线AB相切。【探究8】点A、0、Bi的位置关系？因为koAy122p,koB1y22y2，而y1y22p，Xy1y1pp2p2所以k2p2y2k所以三点共线。koA20B1，ppy2【结论8】点A、
10、0、Bi三点共线。【类似结论】（1）B、0、Ai三点共线；（2）设直线A0与抛物线的准线的交点为（3）设直线B0与抛物线的准线的交点为Bi,贝UBBi平行于X轴；（2001年高考题）Ai,贝UAAi平行于X轴。【探究9】FA?,FB【结论9】FAxiX2由抛物线的定义得：
11、FA&少FBX211【探究10】一r——是定值吗？（2001年高考题）
12、fa
13、
14、fb【法1】因为直线I的倾斜角为，过A作AR垂直于x轴,垂足为R,设准线与X轴的交点为R1,则RR,AAAFR1F同理可得:1BF1cospFR-AFcos211cosAFp
15、（这实际上是极坐标的观点，想法不错）【法2】可利用平行线分线段的比定理证得。
16、OF
17、BFOF
18、AA,
19、ABBB1AF忑，而AFBF
20、AB,Qf
21、
22、of
23、
24、aa
25、
26、bb1又AAAF,BB1BF1112
27、fa
28、FBOFp（数与形的结合，这是重要的数学思想）IaB2p2p【法3】11・2sinsin22FAFBfa
29、
30、fbM1F2p(.p)2psin(QFM1B1JM1FI.p）。sin（利用前后知识的联系，不错）【法4】直接利用“结论9”，可得证。【结论10】1FB此时，学生参与热情还很高，还急于想发表自己的观点，但下课铃声已
31、想，教师指出：今天我们讲的是抛物线过焦点的弦的性质的探究，整堂课中同学们积极地思考，思维活跃，探究出抛物线过焦点的弦的很多性质，希望同学们在以后的学习中要养成善于思考，勇于探究的良好习惯，此课到此，但探究还没结束，其余性质请同学们回去继续研究。如：1.A,F与AMi的交点是否在y轴上?2.BMi,AMi,AiF,BiF构成的四边形是什么四边形?AEBE3.线段EF平分角PEQ;AF4.—[BF5.Kaekbe0;6.当一时AEBE,当一时AE不垂直于BE。22【课后反思】i、设计意图：本节课设计主要注重对学生能力的培养，整
32、堂课要求学生观察、思考、猜验证，通过联想、类比，培养学生的探究能力，数形结合的能力，同时，紧扣抛物线的定义，抛物线与直线的位置关系，努力寻找学生的“最近发展区”，通过教学把学生潜在的能力开发出来，促进学生认知结构的发展，养成良好的探究习惯。2、设计感悟：若能用计算机辅助教学，图形就会更直观，效果会更好。
