抛物线焦点弦性质.doc

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1、抛物线的焦点弦【教学背景】前面已经学习了抛物线的定义、标准方程、抛物线的几何性质以及抛物线与直线的位置关系，通过对抛物线过焦点的弦的性质研究，达到优化学生的认知结构，同时抛物线过焦点的弦的性质又是历届模拟考和高考的热点，如2001年的高考题就出现两个题目。【问题探究】【问题】已知抛物线,过焦点F作一直线l交抛物线于A、B,【探究1】求弦长

2、AB

3、。。【结论1】。【探究2】还有没有其他方法求弦长

4、AB

5、？(1)当时,直线L的斜率不存在,此时AB为抛物线的通径,结论得证；(2)当时,设直线L的方程为：，即：，代入抛物线方程得：，由韦达定理，由弦长公式得。【结论2】

6、若直线l的倾斜角为，则弦长。【探究3】过焦点的所有弦中，何时最短？的最小值为。【结论3】过焦点的弦中通径长最小。【探究4】从刚才的解题过程中我们能否发现了A、B两点的坐标关系？，。【结论4】(1)；(2)x1x2=。【探究5】以AB为直径的圆与抛物线的准线的位置关系？设M为AB的中点,过A点作准线的垂线AA1,过B点作准线的垂线BB1,过M点作准线的垂线MM1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知:，所以二者相切。【结论5】以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。【探究6】连接A1F、B1F则A1F、B1F有什么关系？;同理A1FB1F。【结论6】A1FB1F。【探

7、究7】刚才我们证得为直角三角形，那么图形中还有哪些直角三角形？由“探究5”知M1在以AB为直径的圆上AM1BM1。由“探究6”知为直角三角形，M1是斜边A1B1的中点，，，，M1FAB。【结论7】AM1BM1，M1FAB。进而可得如下结论：以A1B1为直径的圆与直线AB相切。【探究8】点O、B1的位置关系？因为，而，所以，所以三点共线。【结论8】点O、B1三点共线。【类似结论】（1）B、O、A1三点共线；（2）设直线AO与抛物线的准线的交点为B1，则BB1平行于轴；(2001年高考题)（3）设直线BO与抛物线的准线的交点为A1，则AA1平行于轴。【探究9】由抛

8、物线的定义得：。【结论9】。【探究10】是定值吗？(2001年高考题)【法1】因为直线l的倾斜角为,过A作AR垂直于轴,垂足为R,设准线与轴的交点为R1,则；同理可得：。（这实际上是极坐标的观点，想法不错）【法2】可利用平行线分线段的比定理证得。，而，，又。（数与形的结合，这是重要的数学思想）【法3】，（。（利用前后知识的联系，不错）【法4】直接利用“结论9”，可得证。【结论10】。此时，学生参与热情还很高，还急于想发表自己的观点，但下课铃声已想，教师指出：今天我们讲的是抛物线过焦点的弦的性质的探究，整堂课中同学们积极地思考，思维活跃，探究出抛物线过焦点的弦的

9、很多性质，希望同学们在以后的学习中要养成善于思考，勇于探究的良好习惯，此课到此，但探究还没结束，其余性质请同学们回去继续研究。如：1.与的交点是否在轴上？2.构成的四边形是什么四边形？【课后反思】1、设计意图：本节课设计主要注重对学生能力的培养，整堂课要求学生观察、思考、猜验证，通过联想、类比，培养学生的探究能力，数形结合的能力,同时，紧扣抛物线的定义，抛物线与直线的位置关系，努力寻找学生的“最近发展区”，通过教学把学生潜在的能力开发出来，促进学生认知结构的发展,养成良好的探究习惯。2、设计感悟：若能用计算机辅助教学，图形就会更直观，效果会更好。