抛物线的焦点弦性质

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1、二、抛物线的焦点弦性质例1.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(1)

2、AB

3、=x1+x2+p(2)通径长为2p(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;(4)若直线AB的倾斜角为θ,则

4、AB

5、=2p/sin2θ(5)以AB为直径的圆与准线相切.(6)焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。xOyABFθxOyABF过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(1)

6、AB

7、=x1+x2+p(2)通径长为2pAXyOFBlA1M1B1M过抛物线y2=2px

8、(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(5)以AB为直径的圆与准线相切.故以AB为直径的圆与准线相切.XyFAOBA1B1过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(6)焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。123456过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;证明：思路分析：韦达定理xOyABFxOyABFF过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交

9、,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;法3：利用性质焦点F对A、B在准线上射影的张角为90°。代入抛物线得y2－２ｐmｙ－２ｐs＝０，练习(1).若直线过定点M(s,0)(s>0)与抛物线y2=2px(p>0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),求证:x1x2=s2;y1y2=-2ps.证明：设AB的方程为ｘ=mｙ＋s（m∈Ｒ）(2).若直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),且有x1x2=s2;y1y2=-2ps.求证：直线过定点(s,0)(s>0)证明：lyy2=2pxAMxB过抛物线y2=2

10、px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(4)若直线AB的倾斜角为θ,则

11、AB

12、=2p/sin2θxOyABFθ证明:思路分析

13、AB

14、=

15、AF

16、+

17、BF

18、=思考：焦点弦何时最短？过焦点的所有弦中，通径最短xOyABF过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则例2.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的一条直线和抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),(1)AO交准线于C,则直线CB平行于抛线的对称轴.xyFABCO例2.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的一条直

19、线和抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),(2)过B作BC⊥准线l,垂足为C,则AC过原点O共线.(2001年高考题)xyFABCO例3.A、B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB，1.求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；2.求证：直线AB过定点；3.求弦AB中点P的轨迹方程；4.求△AOB面积的最小值；5.求O在AB上的射影M轨迹方程.二、抛物线中的直角三角形问题例3.A、B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB，(1)求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；[解答](1)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，中点P(x0,y0)，∵OA⊥OB

20、∴kOAkOB=-1，∴x1x2+y1y2=0∵y12=2px1，y22=2px2∵y1≠0,y2≠0,∴y1y2=4p2∴x1x2=4p2.例3.A、B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB，(2)求证：直线AB过定点；[解答](2)∵y12=2px1，y22=2px2∴(y1y2)(y1+y2)=2p(x1x2)∴AB过定点T(2p,0).同理，以代k得B(2pk2,-2pk).例3.A、B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB，(3)求弦AB中点P的轨迹方程；即y02=px0-2p2，∴中点M轨迹方程y2=px-2p2(3)设OA∶y=kx，代入y

21、2=2px得:k0，(4)当且仅当

22、y1

23、=

24、y2

25、=2p时，等号成立.例3.A、B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB，(4)求△AOB面积的最小值；(5)法一：设M(x3,y3),则例3.A、B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB，(5)求O在AB上的射影M轨迹方程.由(1)知，y1y2=-4p2，整理得：x32+y32-2px3=0，∴点M轨迹方程为x2+y2-2px=0(去掉(0,0)).∴M