抛物线焦点弦的性质

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1、抛物线焦点弦的性质　　在直线与抛物线的关系中，过抛物线焦点的直线与抛物线的关系尤为重要，它有一些重要且实用的性质．这些性质通常是解决相关问题的切人点，起着举足轻重的工具性作用，有必要认真领会、系统掌握．但教材中对其相关性质并没有明确而规范的逐一落列，只能靠教学者自身提炼、总结和归纳．现将其有关性质进行探讨和研究　　设抛物线的方程为y2=2px(P＞0),过焦点F(p2,0)作倾斜角为q的直线，交抛物线于A、B两点，则线段AB称抛物线的焦点弦，抛物线的焦点弦具有以下性质：　　性质1：已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，则（由焦半径公式

2、推导）　　性质2：A、B两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值。即x1x2=，y1y2=-p2　　证明：当直线AB斜率存在时，设AB的方程为：y=k(x－),代入抛物线得4k2x2－4p(k2+2)x+k2p2=0,设A（x1,y1）、B（x2,y2）,由韦达定理得x1x2=为定值；而

3、y1y2

4、===2p?=p2.∴y1y2=-p2。　　当直线AB斜率不存在时，易证上式结论成立。　　性质3：设抛物线y2=2px(p＞0),焦点为F，焦点弦PQ，则1

5、FP

6、+1

7、FQ

8、=2p(定值).　　证法：由P、Q向准线作垂线，垂足分别为M、N，作QA

9、⊥Ox于A，FB4⊥PM于B，准线与Ox交于E，　　　　(如图)由△AFQ∽△BPF，则

10、AF

11、

12、QF

13、＝

14、BP

15、

16、FP

17、,即

18、EF

19、-

20、NQ

21、

22、QF

23、=

24、PM

25、-

26、EF

27、

28、PF

29、,　　但由定义知

30、NQ

31、=

32、FQ

33、,

34、PM

35、=

36、PF

37、,　　∴

38、EF

39、-

40、FQ

41、

42、FQ

43、=

44、PF

45、-

46、EF

47、

48、FP

49、,有

50、EF

51、

52、FQ

53、?1=1?

54、EF

55、

56、FP

57、即

58、EF

59、

60、QF

61、+

62、EF

63、

64、PF

65、=2,　　而

66、EF

67、=p,代入后即得1

68、FP

69、+1

70、FQ

71、=2p.　　性质4：已知抛物线y2=2px(p>0),过焦点F的弦的倾斜角为θ（θ≠0），且与抛物线交于A

72、、B，则

73、AB

74、=；且当直线AB与x轴垂直时，

75、AB

76、min=2P（此时称弦AB为抛物线的通径）。　　证明：同性质3，分别过点A、B向抛物线的准线l作垂线，垂足记为A1、B1，则

77、AA1

78、=

79、AF

80、，

81、BB1

82、=

83、BF

84、，∴

85、AB

86、=

87、AA1

88、+

89、BB1

90、。　　设A（x1,y1）,B(x2,y2),则

91、AA1

92、=x1+，

93、BB1

94、=x2+，∴

95、AB

96、=x1+x2+p。　　当θ≠900时，设直线AB的方程为y=tgθ(x－c),代入抛物线方程得：　　tg2θ?x2－(2p+ptg2θ)x+=0,　　x1+x2=，∴

97、AB

98、=+p=。　　当

99、θ=900时，显然

100、AB

101、=2p,符合上式，∴

102、AB

103、=。　　当θ=900时，

104、AB

105、min=2P，即为通径的长。　　性质5：过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为θ（θ≠0）的直线，且与抛物线交于A、B两点，则△AOB的面积S=。4　　证明：由性质4得

106、AB

107、=，点O到直线ABy=tgθ(x－)的距离为　　d==?

108、sinθ

109、。　　∴S△AOB=???

110、sinθ

111、=。　　性质6：以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切.　　证法一：如图3，设PQ中点为R，则R即为PQ为直线圆的圆心，过R作RS⊥MN于S，又设P(x1,y

112、1),Q(x2,y2),　　　　　　∴RS为圆的半径，命题得证.　　证法二：由图3知RS为梯形PQNM的中位线，∴

113、RS

114、=12(

115、PM

116、+

117、QN

118、)=12

119、PQ

120、(利用性质3)，　　∴RS为圆的半径，故结论成立.　　性质7：以抛物线y2=2px(p>0)的焦半径

121、PF

122、为直径的圆（⊙C）与y轴相切　　证明：分别过点P、C、F向抛物线的准线作垂线，垂足记为P1、C1、F1，与y轴交于P2、C2，O，则C到y轴的距离，而

123、PF

124、=

125、PP1

126、=

127、PP2

128、+

129、P2P1

130、=

131、PP2

132、+

133、FO

134、，∴，即点C到y轴的距离等于⊙C的半径，∴⊙C与y轴

135、相切。　　　　性质8：以抛物线y2=2px(p＞0),焦点弦PQ端点向准线作垂线，垂足分别为M、N，则FM⊥FN.(其中F为焦点).　　证明：如图4，由抛物线定义知

136、PF

137、=

138、PM

139、，∴∠1=∠2，4　　而PM∥Ox,∴∠2=∠3，∴∠1=∠3,　　同理∠4=∠6，而∠1+∠3+∠4+∠6=180°，∴∠3+∠6=90°，∴FM⊥FN.4