抛物线焦点弦的性质及应用.doc

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1、抛物线焦点弦的性质及应用设抛物线的焦点为F，经过焦点F的直线交抛物线于A、B两点，则称线段AB为抛物线的焦点弦。关于抛物线的焦点弦具有如下性质：（1）；（2）；（3）（为焦点弦所在直线的倾斜角）（证明从略）。正确、合理、灵活地应用上述性质可简捷、巧妙地解答一些有关抛物线焦点弦的问题。现举例解析如下：例1.（2001年全国高考试题）设抛物线的焦点为F，经过焦点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且轴，求证：AC经过原点。证明：设两点的坐标为，由于点C在抛物线的准线上，且轴，则，因为，由抛物线焦点弦性质（1）得，代入得，故，所以AC经过原点。例2.设抛物线的焦点为F，经过抛物线焦

2、点F的直线交抛物线于A、B，试判断以

3、AB

4、为直径的圆C与直线的位置关系，并加以证明。解：设两交点A、B的坐标为，则AB的中点，由性质（2）知：圆C的直线，由于点C到直线的距离为，故

5、AB

6、为直径的圆C与直线相交。例3.（苏州大学高三数学教学测试题）设抛物线的焦点为F，经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B，记的面积为S（O为坐标原点），若AB变化时，求证：恒为定值。证明：设焦点弦所在的直线的倾斜角为，过O作于M，由性质（3）可知，在中，，故（定值）。从以上几例的解析可以看出：应用焦点弦的性质不仅能使许多问题的解答快捷、方便，而且能够优化学生的思维品质，提高解决问题的能力。