抛物线过焦点弦的性质及应用.ppt

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1、抛物线过焦点弦的性质及应用萧城一中:孙鑫2011年1月11号星期二复习回顾抛物线性质:1,抛物线定义2,抛物线几何性质图形标准方程范围对称性顶点离心率关于x轴对称,无对称中心关于x轴对称,无对称中心关于y轴对称,无对称中心关于y轴对称,无对称中心e=1e=1e=1e=1练习1,M是抛物线y2=2px(P>0)上一点,若点M的横坐标为X0,则点M到焦点的距离是:()这就是抛物线的焦半径公式!Oyx.FM.X0+p/2过焦点弦与抛物线交点坐标关系例1:已知F是抛物线y2=6x的焦点,过焦点任作直线交抛物线与A(x1,y1),B(x2,y2)两点 ①当直线的

2、斜率k=1时,求x1x2,y1y2的值 ②当直线的斜率k=2时,求x1x2,y1y2的值问题1上面结果是巧合吗?分析:关键是联立方程组,利用根与系数的关系求解。解:①x1x2=_____y1y2=_____②x1x2=_____y1y2=______FAxyB已知F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,过焦点任作直线交抛物线与A(x1,y1),B(x2,y2)两点证明:x1x2=y1y2=FAxyB心动不如行动过焦点弦长问题例2:过抛物线y2=4x的焦点作倾斜角为45度的直线交抛物线与A,B两点,求∣AB∣xyOFAB问题2分析,求出A,B两点坐标,然

3、后利用两点间的距离公式可得∣AB∣解(法一)由条件可得F(1,0)则直线的方程为:y=x-1由可得解得由两点距离公式可得∣AB∣=8(法二)利用方程,利用弦长公式同样可的∣AB∣=8xyOFAB分析:利用抛物线性质解决问题解(法三)如图可知设A(x1,y1),B(x2,y2)∣AB∣=∣AF∣+∣BF∣=x1+1+x2+1=x1+x2+1+1由上知x1,x2是方程的两根,故x1+x2=6,所以∣AB∣=6+2=8xyOFABB’A’一般的:若过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的直线交抛物线A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则1,∣AB∣有最小值

4、吗?若有又为多少?2,对于其他标准方程,你能写出过焦点弦长公式吗?想一想??xOyF通径:通过焦点且垂直对称轴的直线,与抛物线相交于两点,连接这两点的线段叫做抛物线的通径。通径的长度为:此是2p的几何意义。AB2p例3:设F是抛物线G:x2=4y的焦点,A,B为G上异于原点的两点,且满足的两点,延长AF,BF分别交抛物线G与C,D,求四边形ABCD面积的最小值x分析:解此题的关键是把四边形面积表示出来解:如图设直线AC的斜率为k则k≠0由条件可知直线AC方程为y=kx+1联立方程组可得故xA+xC=4k所以︱AC︱=yA+yC+2=k(xA+xC)+4

5、=4k2+4同理可得︱BD︱=4(1/k2+1)故SABCD=(当且仅当k2=1时取=)1,长为8的线段AB两端点在抛物线y2=6x上运动,求AB中点M到抛物线准线的最近距离。()2,过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴。4xyOFABD咱来试一试小结:1,过抛物线焦点弦与抛物线交点坐标关系2,过抛物线交点弦的弦长问题及应用P76,7,9,10作业谢谢大家,再见!

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