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《抛物线过焦点的弦的性质的探究.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、抛物线的焦点弦【教学背景】前面己经学习了抛物线的定义、标准方稈、抛物线的几何性质以及抛物线与直线的位置关系，通过对抛物线过焦点的弦的性质研究，达到优化学生的认知结构，同时抛物线过焦点的弦的性质又是历届模拟考和高考的热点，如2001年的高考题就出现两个题H。【问题探究】【问题】已知抛物线尸=2朋(0〉0),过焦点F作一直线1交抛物线于A(gyJ、B(兀2，儿)，AB【探究1】求弦长IABI。AF+BF=(%!+—)4-(x2+—)=X]+x2+po22【结论1]AB=+x2+po【探究2】还有没有其他方法求弦长IABI?⑴
2、当0=^-时，直线L的斜率不存在，此时AB为抛物线的通径,.・.
3、AB
4、=2p结论得证；2(2)当0时,设直线L的方程为:y=(x-—)tan0,即：x=y-cot^+—,代入抛222物线方程得：y2-2py-cotd-p2=0,由韦达定理儿儿+.V?=2〃cot&,由弦长公式得AB=71+cot2儿一y2
5、=2p(l+cot20)=二^。sirr6【结论2】若直线1的倾斜角为&,贝IJ弦长
6、AB
7、=-
8、^o【探究3】过焦点的所有弦屮，何时最短？・・・sin2^2p/.AB的最小值为2p。【结论3】过焦点的弦
9、屮通径长最小。【探究4】从刚才的解题过程屮我们能否发现了A、B两点的坐标关系?【结论4】(1)))，2=一#-；(2)X］X2=±-。【探究5】以AB为直径的圆与抛物线的准线的位置关系？设M为AB的屮点，过A点作准线的垂线AAi,过B点作准线的垂线BB】，过M点作准线的垂线MM】，由梯形的屮位线性质和抛物线的定义知：(,IAA.I+BB}AF+BFAB二一七一=——-——二押，所以二者相切。222【结论5］以AB为肓径的圆与抛物线的准线相切。【探究6】连接A
10、F、BjF则A,F>B】F有什么关系？AA}=AF,:.ZA
11、A}F=ZAFA}tAA}IIOF:.ZAA}F=ZA}FO:.ZA}FO=ZA^FA;同理上B、FO=ZBFBAA}FB}=90°/.A^丄生F。【结论6】A
12、F丄B
13、Fo【探究7】刚才我们证得*FB为直角三角形，那么图形屮还有哪些直角三角形?由“探究5”知M］在以AB为直径的圆上「.AM］丄BM
14、。由“探究6”知AA/5为直角三角形，M.是斜边A
15、B】的屮点，二A
16、M
17、=MtF:.ZMjFAj=ZM/
18、FtZAAtF=ZAFAt,•/ZA^F+ZFA.vW=ZAA,M1=90°,/.ZAFA.+ZA.FM,=90°,
19、/.MjF丄AB。【结论7］AMi丄BMnM
20、F丄AB。进而可得如下结论：以A
21、Bi为肓径的圆与玄线AB相切。2p所以三点共线。【探究8】点A、O、B］的位置关系？因为©A_•-2=一2“_y2_，5b_n2)S”_£P2p2而=~p2‘2>?2【结论8】点A、O、B
22、三点共线。【类似结论】(1)B、O、A】三点共线；(1)设直线AO与抛物线的准线的交点为B
23、,贝UBB］平行于兀轴；(2001年高考题)(2)设直线BO与抛物线的准线的交点为阳，贝UAA］平行于x轴。【探究9】
24、E4
25、=?,
26、FB
27、=?由抛物线的定义得：I尸
28、4
29、二册+2,
30、"
31、二兀2+2。22【结论9】FA=x.+—,FB=+—o2-2【探究10】丄+丄是定值吗？（2001年高考题）fa\fb【法1】因为直线1的倾斜角为。，过A作AR垂真于兀轴，垂足为R,设准线与兀轴的交点为R
32、,2AFprlrlirr./H11+cosO112BFpFA\FBp（这实际上是极坐标的观点，想法不错）【法2】可利用平行线分线段的比定理证得。OFOFBB}OFBFOFAF•••——=——,——=―,而AF+BF=AB側ABBB、ABOF又vK
33、=mi^
34、=
35、BF
36、••・两+匠（数
37、与形的结合，这是重要的数学思想）2p2p【法3】1+J_=J^=^ini£=^ini^_=2
38、fa
39、fb
40、fa
41、
42、fb
43、阿歼（p乎p（••・ZFM.B,=0y:.M,F=osin6^（利用前后知识的联系，不错）【法4】直接利用“结论9”，可得证。【结论10】命侖此时，学生参与热情还很高，还急于想发表自己的观点，但下课铃声Li想，教师指出：今天我们讲的是抛物线过焦点的弦的性质的探究，整堂课屮同学们积极地思考，思维活跃,探究出抛物线过焦点的弦的很多性质，希望同学们在以后的学习屮要养成善于思考，勇于探究的良好习惯，此课到此，
44、但探究还没结朿，其余性质请同学们冋去继续研究。如：1*F与AM】的交点是否在y轴上?构成的四边形是什么四边形?3.线段EF平分角ZPEQ;■
45、BF
46、
47、BE「5・Kae+Kbe=（）；6.当0二三时AE丄BE,当&工兰时AE不垂直于BE。22【课后反思】1、设计意图：木节课设计主要注重对学生
