过抛物线焦点弦端点的切线的探究

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1、课题过抛物线焦点弦端点的切线的探究授课时间2008年3月24日授课教师牛文化授课班级高三（4）班教学目标1、掌握抛物线的图像和性质，巩固圆锥曲线中常见的垂直的证明方法，增强学生解决综合性问题的信心.2、通过学生的研究讨论，发挥学生自主学习的能动性，提高学生分析问题、解决问题的能力.培养学生的观察能力、归纳能力、探索发现能力.3、通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨，养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度.重点与抛物线焦点弦有关的垂直关系和证明及应用.难点与抛物线焦

2、点弦有关的垂直关系的证明和应用.教学过程教师活动学生活动设计意图一、课前回顾与反思前面我们研究了过抛物线焦点的直线与抛物线相交于两点，过这两点的切线的交点的轨迹问题.首先请一名同学回忆一下研究的过程和结果.研究过程为：已知：如图1，设抛物线为，焦点为，过点的直线与抛物线相交于、两点，过、的切线相交于点，求点的轨迹.解：设直线的方程为，联立直线方程和抛物线方程有整理有由抛物线方程，可设点、的坐标分别为、.由韦达定理可知，学生回忆学生回答回忆研究的过程，从中体会研究的方法，为下面进一步探究做铺垫.7教学过程教师活动学生活动设计意图由，

3、得，.过点、的切线的斜率分别为，，于是过点的切线方程为：，整理得⑴同理可得：过点的切线的方程为.⑵联立⑴、⑵，解得，.即所以两条切线交点的轨迹方程为，这恰是抛物线的准线.通过这名同学的回答，我们体会证明过程中的几个闪光点.首先，在设、两点的坐标时灵活运用了抛物线方程，减少了未知数的个数，为简化运算作了铺垫；其次，在寻求与的关系时，巧妙地借助“韦达定理”，很快找到了问题的突破口.二、合作学习，探究新知结合解题过程，仔细观察图形，你能得到那些垂直关系？并试着加以证明.（可适当添加辅助线）通过学生探究，可能得到如下几个结论：结论1——.

4、学生回答学生主动探究，合作交流回忆研究的过程，从中体会研究的方法，为下面进一步探究做铺垫.动画演示结论，加深学生对结论的认识和理解.教师点评，指出证明过程中的关键点和突破口.教师巡视，遇到学生的问题加以指导.7教学过程教师活动学生活动设计意图【证明】由上面可知过点、的切线的斜率分别为，即，易知故.结论2——连结PF可证.【证明】如图2，易知，故.由结论2我们还可以推导出更多结论比如：①是直角斜边上的高，从而．②③④学生分组合作，共同探究新的结论整个教学过程中，教师只是启发、引导，证明推理过程由学生来完成，充分体现学生的主体地位和教

5、师的主导作用.7教学过程教师活动学生活动设计意图结论3——设与轴交于点，与轴交于点，可证、和.【证明】如图3由题意可知；与轴交于点，点坐标为，与轴交于点，点坐标为，由，可知故，证明思路相同（略）.由上面可知在四边形中，三个角、、都是90°，可知也为90°，即.（到此，主要的垂直结论均已找出并证明，下面根据课上实际的情况选择是继续挖掘其他结论还是做练习题.）思考:以为直径的圆（即的外接圆）与抛物线的准线有什么位置关系？并证明你的结论.结论4——以为直径的圆与抛物线的准线相切于点.(过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线)学生分

6、组合作，共同探究新的结论通过学生分组学习，发挥学生自主学习的能动性，提高分析问题和解决问题的能力，逐步培养学生的钻研精神.7教学过程教师活动学生活动设计意图【证明】如图4，取中点为，则点为以为直径的圆的圆心，连接，要证和准线垂直，只需证.由点坐标为可知，所以以为直径的圆与抛物线的准线相切于点.结论5——由和可知，以为直径的圆（即的外接圆）与轴相切于点；以为直径的圆（即的外接圆）与轴相切于点.（证明思路同上）三、应用结论，解决问题刚才同学们的回答很踊跃，总结出来的结论也很有水平，这说明我们的同学不仅具备了很强的运算求解能力，还具备了

7、很强的观察能力、归纳能力、探索发现能力，下面我们做一个练习.（08东城第一学期期末理19题）已知抛物线，过焦点的动直线交抛物线于两点，抛物线在两点处的切线相交于点.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求点的纵坐标；（Ⅲ）证明：.（Ⅰ）解：设直线的方程为.由可得.则.∴.学生完成证明应用前面结论的证明思路，完成练习题.学生在合作交流的探究氛围中思考、质疑、倾听、表述，体验到成功的喜悦，学会学习、学会合作．深化前面结论的证明思路，增强解决圆锥曲线综合题的信心，为高考打好基础.7教学过程教师活动学生活动设计意图（Ⅱ）由，可得，.在点处的切线方程为即.在

8、点处的切线方程为.解方程组可得即点的纵坐标为.(Ⅲ)证明：如图5，连接.由（Ⅱ）可知易知，即.可证，所以.四、课堂小结，提炼升华由于时间关系今天我们就探究到这里，课下请同学们想一想这个题的一些结论能否推广，或者改变一个条件是否还能得到类似的结论吗？