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1、高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家抛物线焦点弦的性质及应用甘肃省漳县一中748300张永鹏13993279721平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。由于抛物线定义的特殊性，使得它有许多其他圆锥曲线所没有的特征，特别是抛物线过焦点的弦的性质尤其突出，同时也高考中经常要考查的内容。据不完全统计，在近几年高考中关于抛物线焦点弦的性质出现在：1、2000年理科的第11题（选择题），2、2001年理科的第19题（解答题），3、2002年文科的第16题（填空题），4、2004年理科的第16题（填空
2、题）设抛物线的方程为y2=2px(P＞0),过焦点F(,0)作倾斜角为q的直线，交抛物线于P、Q两点，则线段PQ称抛物线的焦点弦，(如图1).抛物线的焦点弦具有以下性质:性质1：设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1y2=-p2.证明：①当q=90°时，PQ方程为x=代入y2=2px中有y2=p2,即y1=p,y2=-p,∴y1y2=-p2.②当q≠90°时，设直线PQ斜率为k,则PQ方程为y=k(x﹣)与y2=2px联立，消x后得到：ky2-2py-kp2=0,∴y1y2=-p2.因为，，所以，所以例1过抛物线焦点的
3、一条直线与它交于两点P、Q，通过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，求证：直线MQ平行与抛物线的对称轴.证明：为了方便比较，可将P点横坐标及Q点纵坐标均用P点的纵坐标y1表示.∴P(,y1),Q(x2,y2),但y1y2=-p2，∴y2=﹣,PM方程是：y=x,当x=﹣时,y=﹣即为M点的纵坐标，这样M点与Q点的纵坐标相同，故MQ∥Ox.[例2]（2001年高考）设坐标原点为O，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点，则-7-www.ks5u.com版权所有@高考资源网高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家＝.
4、A、B、-C、3D、-3解析：设弦的两个端点为A（x1，y1）、B（x2，y2），x1x2=，，∴＝＝-＝，故答案选B。性质2：抛物线焦点弦的长度：=.证明：如图所示，分别做、垂直于准线，由抛物线定义有.且有,,于是可得,.∴+==.故命题成立.例3已知圆M：x2+y2-4x=0及一条抛物线，抛物线顶点在O(0,0),焦点是圆M的圆心F，过F作倾斜角为a的直线l,l与抛物线及圆由上而下顺次交于A、B、C、D四点，若a=arcsin,求
5、AB
6、+
7、CD
8、.解：如图，方程x2+y2-4x=0,表示的图的圆心为(2，0)即为抛物线
9、的焦点，∴抛物线的方程是y2=8x(其中p=4),
10、AD
11、===40,但圆的直径
12、BC
13、=4，∴
14、AB
15、+
16、CD
17、=
18、AD
19、-
20、BC
21、=40-4=36.性质3：三角形OAB的面积公式：证法一：当直线倾斜角为直角时，公式显然成立。当直线倾斜角不是直角时，设焦点弦所在直线方程：-7-www.ks5u.com版权所有@高考资源网高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家由性质4：以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切.证法一：如图3，设PQ中点为R，则R即为PQ为直线圆的圆心，过R作RS⊥MN于S，又设P(x1,y1),
22、Q(x2,y2),
23、PQ
24、=
25、PF
26、+
27、QF
28、=+=+=x1++x2+=x1+x2+p,而R(,),∴RS=+=,∴
29、RS
30、=
31、PQ
32、,∴RS为圆的半径，命题得证.证法二：由图3知RS为梯形PQNM的中位线，∴
33、RS
34、=(
35、PM
36、+
37、QN
38、)=
39、PQ
40、(利用性质3)，∴RS为圆的半径，故结论成立.性质5：以抛物线y2=2px(p＞0),焦点弦PQ端点向准线作垂线，垂足分别为M、N，则FM⊥FN.(其中F为焦点).证明：如图4，由抛物线定义知
41、PF
42、=
43、PM
44、，∴∠1=∠2，而PM∥Ox,∴∠2=∠3，∴∠1=∠3,同理∠4=
45、∠6，而∠1+∠3+∠4+∠6=180°，∴∠3+∠6=90°，∴FM⊥FN.性质6：设抛物线y2=2px(p＞0),焦点为F，焦点弦PQ，则+=(定值).证法一：由P、Q向准线作垂线，垂足分别为M、N，作QA⊥Ox于A，FB⊥PM于B，准线与Ox交于E，(如图5)由△AFQ∽△BPF，则＝,即=,但由定义知
46、NQ
47、=
48、FQ
49、,
50、PM
51、=
52、PF
53、,-7-www.ks5u.com版权所有@高考资源网高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家∴=,有﹣1=1﹣即+=2,而
54、EF
55、=p,代入后即得+=.证法二：由性质的语法二，
56、设
57、FP
58、=t1,
59、FQ
60、=-t2,而t1+t2=,t1t2=﹣,
61、t1-t2
62、=,则+=﹣===(∵t2﹣t1＜0),还有其它证法.例42001年理科第11题：过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与QF的长分别是p,q，则等于（）（A）2a（B）（C）4a（D）200
