一类关于A—单调算子的广义变分包含组-论文.pdf

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1、第28卷第2期西昌学院学报·自然科学版Vo1．28．NO．22014年6月JournalofXiehangCollege·NaturalScienceEditionJun．．2014一类关于A一单调算子的广义变分包含组阿力非日(西昌学院彝语言文化学院，四川西昌615022)【摘要】在Hilbert空间中，引入并研究了一类新的关于A一单调算子的广义变分包含组问题，利用不动点定理证明了这类广义变分包含组解的存在性和唯一性，并且利用A一单调映像的预解算子技巧研究了这类变分包含组解的迭代算法逼近，及由算法生成的迭代序列

2、的收敛性。【关键词】A一单调算子；变分包含组；预解算子；解的存在性；迭代算法【中图分类号10177．1【文献标识码】A【文章编号】1673—1891(2014)02—0028—031预备知识定义1．4设：EE是单值算子，是E的集设是实Hilbert空间，其内积和范数分别记为值映象。若存在一个常数P>u，满足<‘，>和lIlI，表示E的所有非空子集构成的集合，(1)是松弛单调，设Ai：E--~E骂：ExE-~E，(f=L2)都是单值算子。：E--)2是(2)A+pM是极大单调的，4_单调算子(1，2)我们考虑以下

3、问题：则称是—极大单调的，简称为—单调。求，YeE，使得定义1．5是E五的r_5虽单调算子，M是E1fY—A)一日．，y)etiM。⋯的—极大单调，则预解算子定义为一：)一：，)rMy()=(+pn)一。()，Vx∈E。这里0，>o是两个常数．注2当是单调算子时，预解算子是单值映问题()称为关于单调算子的广义变分包含射。组。例是E的单调算子，是E的一极大首先给出一些基本概念。单调，则预解算子：黾一松弛单调算子，其定义1．1算子：EE称为是中P，m>0。(i)单调的，如果(—Ay，—>≥o，V，YE；证明对Vu，

4、veE，由预解算子的定义，有(ii)严格单调的，如果(Ax—Ay，—y>o，v，YeE，=(+pM))，当且仅当=Y时，上式才取等号。I，：．(pM)(V)o(fJ)S-强单调的，如果(—Ay一：sl—yl，y～，则一())jeu”，其中o是常数。一((v)jE．】lf((v))。注1我们根据定义1．1容易证明强单调算子是由是A一极大单调，则是，，卜松弛单调，故有严格单调算子。(一"】_一u(v"l‘，)一(定义1．2算子B：ExE--~E称为是=《”一v—((呦一d(：((i)关于第一变元s--强单调的，如果

5、≥(一m)：【)一M【v)rl(()一。(．】，—y)≥一yl，Vx，Y∈E．因此其中S>0是常数。(”一v，：(“)一‘，(v))(ii)关于第一变元一L~pschitz连续的，如果L，(“)】一c，：(v)J：(”)一(v)(烈x，-)一口·—)纠一叫，Vx,y~E，一pm(“)一(叫I其中0是常数。—pm)一M㈩l『o证毕。类似地，我们可以定义(·，·)关于第二变元的引理lA黾E瑚一强单调算子，是ELipschitz连续。的一极大单调，则预解算子：E--)E是—L—Lipscl~itz定义1．3若存在一个

6、常数m>0，满足连续的，且0。卜prn(Tx—Ty。—y)一I—I，V，y∈。2主要结果则称是松弛单调的。引理设0，，，0是两个常数。则下列三个收稿日期：2013—12—15作者简介：阿力非日(1986一)，男，理学硕士，助教，研究方向：非线性分析。第2期阿力非日：一类关于A．一单调算子的广义变分包含组·29·命题等价：≤(1_2pst+t)一v：I(4)(1)广义变分包含组(，一：)有解x，)Ex；又(v，v·)一BI2,V2)I≤，-v2I。(5)(2)存在(，)E×E，满足=【y一I_v)】，由(3)(4

7、)(5)得[一yB(，)】。0)一“(41-2]~1++t)IV-一I。(6)(3)定义算子：E-->E~)=J[v一肌(v，v)Lv‘，一(⋯)l又v=[“一yB：(“)】(1,2)，故有，任意U∈E，算子在E中有不动点。lv．-一yB：(ul,u1)]_一yB：(Ⅳ2'“：)1I证明(D由广义变分包含组(：．c)有解(x,y)EE×E，则有≤=-二_I“-一“z—r(B2(“·，“-)-B2(“z，“z))0Y—A。()一四，(Y，)∈M，—A2()一，2(，)∈yM2Y。≤二一l_2(√。一2：一+rk2

8、)I””·一“zl“l。o(【7一)J又由预解算子的定义，有。[y一口·(y，)】：[一yB(，)】。．．．由(6)(7)得0。若(3)成立．即在E中有不动点xe令IIr(“。)一T(u)lIlu．一I。=JyB()l则m)y一,aB】，即(2)成立．其中，反之，若(2)成立，容易证明(3)也成立。口(础。(二。定理2．1设A：EE是一强单调算，(1，2)。一Bj：E×E-+E关于第一