一类单调算子的新不动点定理-论文.pdf

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1、2014年6月纯粹数学与应用数学Jun．2014第30卷第3期PureandAppliedMathematicsVo1．30NO．3一类单调算子的新不动点定理王维娜，薛西锋(西北大学数学学院，陕西西安710127)摘要：利用单调迭代法、数学归纳法以及序差距的性质，在半序Banach空间中探究不具有紧性、连续性以及任何凹凸性的单调算子不动点存在以及惟一性问题，得出其新不动点定理，这些结果对相关结论进行了推广，使其适用范围更广，同时将该结论应用于求解Volterra型积分方程组问题中．关键词：单调算子；正规锥：不动点；序差对；序差距中图分类号：O177

2、．91文献标识码：A文章编号：1008．5513(2014)03—0292—07D0I：10．3969／．]．issn．1008一5513．2014．03．0111引言及预备知识对于单调算子不动点的研究，现已有许多的结果[1-81．有些文献在研究单调算子不动点时，要求单调算子具有某种紧性或连续性或凹凸性，文献【1]利用序差的性质及数学归纳法，文献[2—7]运用锥理论知识和单调迭代技巧，文献[8]采用与以往大不相同的假设和迭代格式均研究了不具有以上条件而满足其他某些条件的单调算子的不动点存在惟一性问题．本文在半序Banach空间中引入序差对和序差距的

3、概念，利用单调迭代法、数学归纳法以及序差距的性质，去掉单调算子的紧性、连续性以及凹凸性，在更广泛的条件下，得到半序Banach空间中单调算子的新不动点定理，同时将其结论应用于求解Volterra型积分方程组的问题中，使其求解更加简便．设是Banach空间，P是E中的一个锥【3J．定义1．1锥P是正规的，若存在常数N>0，使得0XYltxllⅣl，且称满足条件的最小正数Ⅳ为P的正规常数．定义1．2尸是中的锥，0UV，对于h∈P，若M>0，使得VMh，则令a=inf{a『Vah，Ol∈R]．，b=sup{／3l札，∈R)称a—b为u和V的h一序差，并且

4、记dh(u，V)=a—b．收稿日期：2014—01—09．基金项目：陕西省自然科学基金f2012JM1017)．作者简介：王维娜(1988一)，硕士生，研究方向：非线性泛函分析第3期王维娜等：一类单调算子的新不动点定理293定义1．3设n—b，c—d分别为u和，r和s的h一序差，即dh(U，u)：a-b，dh(r，s)=c-d，则(dh(u，)，dh(r，s))为序差对．定义1．4称序差对(dh(U，)，dh(r，s))到(0，0)点的距离为序差距，并且记为r2(dh(u，)，dh(r，s))：x／—(dh(u,v))2+—(dh(r,s))2定义

5、1．5设E是半序空间【引，在E~E中定义新的半序关系：若XlX2，YlY2，则记(现，Y1)(X2，y2)．引理1．1设是Banach空间，P为中一个锥，则E~E在定义1．5的半序下是半序空间．证明(i)V(xl，y1)∈E×E，都有XlXl，YlYl，即(z1，Y1)(Xl，1)．(ii)若(Xl，Y1)(X2，)，且(X2，Y2)(X3，)，则有Xl≤X2，Yl2，且X2X3，Y2Y3，故有1X3，YlY3，即(Xl，Y1)(X3，3)．(iii)若(Xl，Y1)(X2，y2)，且(X2，Y2)(Xl，y1)，则有XlX2，ylY2，且X2Xl

6、，Y2Yl，故有Xl=X2，Yl=Y2，即(1，y1)=(X2，y2)．由(i)，(ii)，(iii)可知E×E在定义1．5的半序下是半序空间．引理1．2设B，C：【u0，】E均为增算子，令A(x，Y)=(Bx，cy)，则在下是增算子；若B，C：[U0，V0]-9．E均为减算子，则A(x，Y)=(Bx，)在是减算子．证明对任意X1，X2，Y1，Y2∈『u0，vo]，若(Xl，Y1)≤(X2，2)，即XlX2，YlY2，又因为B，C为增算子，所以BxlBx2，CylCy2，故有(Bxl，Cy1)(Bx2，Cy2)，即A(xl，y1)A(x2，2)，则

7、为增算子若B，C均为减算子，当(Xl，Y1)(X2，Y2)时，有Bx2Bxl，Cy2Cyl，即(Bx2，Cy2)(Bxl，Cy1)，故有A(x2，y2)A(xl，y1)，则A为减算子2主要结果定理2．1设P是E中的锥，tuV，s，h∈P，且M，L>0，使得Mh，sLh，那么，294纯粹数学与应用数学第30卷(i)d(dh(u，)，dh(r，s))0，d(cl(，“，)，d。(r，s))、／／2．(ii)d(dh(u，)，dh(r，s))=0，则u=V，=8．(iii)若u1札u，nr8，则d(dh(ul，)，dh(rl，s))d(dh(U，)，dh

8、(r，s))．(iV)d(dh(ku，尼)，dh(kr，s))=kd(dh(U，)，dh(r，s))，d(d~(kv，)，