半序空间混合单调算子的耦合不动点定理及其应用-论文.pdf

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1、第38卷第3期江西师范大学学报(自然科学版)V01．38No．32014年5月JournalofJiangxiNormalUniversity(NaturalScience)Mav2014文章编号：1000-5862(2014)03-0240-04半序空间混合单调算子的耦合不动点定理及其应用王金明，郑雄军(江西师范大学数学与信息科学学院，江西南昌330022)摘要：在半序空间x×X中证明了具A=CB形式的混合单调算子的耦合不动点定理和最小最大耦合不动点定理．最后将该定理应用于讨论含有不连续项的混合单调Voherra型积分方程耦合拟解的存在性．关键词：混合单调算

2、子；半序拓扑空问；耦合不动点；Volte~a积分方程中图分类号：O177．91文献标志码：A动点；(iii)若∈S满足=A(元，)，则称x是的0引言和预备知识不动点．若有耦合不动点(z，W)使得对任何A的耦合不混合单调算子是一类重要的算子，广泛存在于动点(P，g)有z≤P，g≤W，则称(，W)为算子A的非线性积分方程和微分方程的应用u。中．在半序最小最大耦合不动点．Banach空间中混合单调算子的耦合不动点定理已乘积空间X×X的半序记为“≤．”：有许多很好的结果．孙经先在文献[7]中把(，Y)≤1(M，)仁≤U，≤Y，(1)A=CB形式增算子的结果推广到了第2

3、空间为半序则X×X也为半序空问．拓扑空间，没有要求算子的连续性和紧性，只要求定义算子A：S×S—X×X如下：(s)是拟町分的拟紧集．许多增算子的结果可以适当地推广到混合单调算子．基于这一思想，本文考虑a(x，Y)=(a(x，Y)，A(y，))，(,lf，Y)∈S×S．引理2若A：S×S_÷为混合单调算子，则A表为A=CB形式的混合单调算子，结合文献[4]中定理2．1的方法将文献[8]中增算子的结果推广(i)在X×X中的半序“≤一”下4为增算子；到混合单调算子，其中是映D(D是X×X中的序(ii)A有不动点(，Y)的充要条件是x，Y)为I义间)人另一个半序拓扑空

4、间l，的混合单调算子．的耦合不动点；定义1[9J设足具有半序结构的Hausdorf拓扑空问，如果对中任意2个有向列{IET}(iii)A的最小不动点为A的最小最大耦合不动点．和{Yl∈T}，只要≤Y(V∈T)，{}网收敛于元，{Y}网收敛于y，就有x≤夕，则称是半序拓扑空间．1混合单调算子的耦合不动点定理引理1_8设是半序拓扑空间，则V∈，{Y∈XlY≥}是中的闭集．定理1设为半序集，[“。，。]是中的序区定义21设是半序卒间，其半序用“≤”表间．令D=[(，。)，(，M。)]，则D是XX中的示，5[，：SZS_，序区间．设】，为半序拓扑空间，若算子A：D—(

5、i)若l，2，Yl，Y2∈S，1≤2，Yl≥Y2蕴含着满足：(，Y)≤A(，Y)，则称A是混合单调算子；(i)“o≤A(o，t)o)，A(0，“0)≤0；(ii)若(，Y)ESZS满足=A(，(ii)存在混合单调算子日：D—l，及增算子c：Y)，Y=A(Y，)，则称(，Y)是A的耦合不B(D)一使得A=CB；收稿日期：2013—12-25基金项目：汀西省自然科学基金(20122BAB201008)和江西省教育厅科技课题(GJJ08169)资助项目通信作者：郑雄军(1968一)，女，江西上饶人，教授，主要从事非线性泛函分析的研究．第3期王金明，等：半序空间混合单

6、调算子的耦合不动点定理及其应用241(iii)B(O)中任一全序予集是】，中的相对紧集，8(O)知，]{PlOL∈厂}c(Ⅳ。)及{％I卢∈A}c则A在D中至少有耦合不动点．(Ⅳ2)使得{P}网收敛于，{q}网收敛于．由于证由条件(i)和(ii)知：D一[“。，。]为混j；，∈()，因此互=cp∈[“。，0]，互：Cq∈合单调算子，又由引理2知A是映D到D的增算子．[。，％]有定义，下证：令M，：{(，Y)∈DI(，y)≤A(，Y)}，M2=(i)(，)是Ⅳ1的上界．事实上，任取(，{(，，，)∈DI(，Y)∈M。}，日f条件(i)知(。，。)∈Y1)∈N1，

7、贝U(Y1，)EⅣ：，由(2)式知B(】，y1)≤，故≠【2j，于是≠．P，q≤B(Y，)．再由C是增算子知，设Ⅳl为中的任一全序子集，则Ⅳ2={(Y，CB(1，Y1)≤P=1，2=Cq≤CB(y1，1)，)I(，Y)∈N}为中的全序子集．因曰为混合即a(x1，Y1)≤l，2≤A(Yl，1)．又因为N1cM1，单调算子，故()(i=1，2)是y中的全序子集且所以，(1，Y】)≤1A(1，Y1)=(A(1，)，1)，a(y1，(Ⅳ)c(D)．由条件(iii)知，曰(Ⅳ)c曰(M)1))，于是1≤A(1，Y1)，A(Y1，1)≤Y1，从而1≤(i=l，2)在y中相

8、对紧令()分别是()互，互≤Y．由(1