反向混合单调算子新的不动点定理

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1、第29卷　第1期　吉首大学学报(自然科学版)Vol.29No.12008年1月JournalofJishouUniversity(NaturalScienceEdition)Jan.2008文章编号:1007-2985(2008)01-0007-03X反向混合单调算子新的不动点定理栾世霞,孙钦福,赵艳玲(曲阜师范大学数学科学学院,山东曲阜　273165)摘　要:利用锥理论和非对称迭代方法,研究了Banach空间一类反向混合单调算子方程解的存在唯一性,并给出了迭代序列收敛于解的误差估计,所得结果改进和推广了混合单调算子方程某些已知相应结果

2、.关键词:非对称迭代;反向混合单调算子;正规锥;不动点中图分类号:O177.91文献标识码:A在Banach空间中,混合单调算子和反向混合单调算子是2类重要的算子.对于混合单调算子,特别是对于在适当的序条件下的非线性单调算子问题,应用迭代方法得出了许多好的结果;但对于反向混合单调算子解的存在性问题却涉及甚少.笔者利用非对称迭代法研究了半序空间中反向混合单调算子方程解的存在唯一性,并给出了迭代序列收敛于解的误差估计,改进了文献[1]的主要结果,当然也统一和改进了文献[2-5]的结果.以下总假设E是一个实Banach空间,P是E中的正规锥,

3、N为P的正规常数,半序≤是由锥P诱导的.[6]定义1设x0∈E,y0∈E,有x0

4、x0≤x≤y0}为E中的序区间.[6]定义2设非空集D

5、为P的正规常数,A:[x0,y0]×[x0,y0]→E的反向混合单调算子,且存在正的有界线性算子L,M:E→E,满足下列3个条件:(H1)x0+L(y0-x0)≤A(y0,x0),A(x0,y0)≤y0;(H2)A(x,y)-A(y,x)≤M(y-x),x0≤x

6、(或yn)-x‖≤Nr‖y0-x0‖　　n>n0,r(L+M)

7、副教授,博士,主要从事非线性泛函分析研究;孙钦福(1967-),男,山东高密人,曲阜师范大学数学科学学院副教授,硕士,主要从事非线性泛函分析研究.8吉首大学学报(自然科学版)第29卷则(1)式成立.假设n=k时(1)式成立,即有xk-1≤xk≤yk≤yk-1,从而有L(yk-xk)≤L(yk-1-xk-1).又由于A是[x0,y0]×[x0,y0]上的反向混合单调算子,因此A(yk-1,xk-1)≤A(yk,xk)≤A(xk,yk-1)≤A(xk-1,yk-1).当n=k+1时,由归纳假设得xk=A(yk-1,xk-1)-L(yk-1-

8、xk-1)≤A(yk-1,xk-1)-L(yk-xk)≤A(yk,xk)-L(yk-xk)=xk+1≤A(yk,xk)≤A(xk,yk)=yk+1≤A(xk-1,yk-1)=yk.由归纳法知(1)式成立.(ⅱ)下证{xn}{yn}是E中的Cauchy序列.由(ⅰ)和条件(H2)以及A的反向混合单调性,得θ≤yn-xn=A(xn-1,yn-1)-A(yn-1,xn-1)+L(yn-1-xn-1)≤M(yn-1-xn-1)+L(yn-1-xn-1)=(L+M)(yn-1-xn-1),继续可得nθ≤yn-xn≤(L+M)(yn-1-xn-1)

9、≤⋯≤(L+M)(y0-x0).(2)根据锥P的正规性,得n‖yn-xn‖≤N‖L+M‖‖y0-x0‖.又nθ≤xn+m-xn≤yn-xn≤(L+M)(y0-x0),nθ≤yn-yn+m≤yn-xn≤(L+