反向混合单调算子方程解的存在唯一性定理

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1、第39卷第24期数学的实践与认识Vol139No1242009年12月MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORYDecem.,2009反向混合单调算子方程解的存在唯一性定理12赵晓晶,张彬(1.安阳工学院数理系,河南安阳455000)(2.商丘职业技术学院,河南商丘476000)摘要:运用锥与半序理论和非对称迭代方法,讨论半序Banach空间一类反向混合单调算子方程解的存在唯一性,并给出了迭代序列收敛于解的误差估计,作为其应用着重讨论了非反向混合单调算子方程解的存在唯一性,所得结果改进和推广了混合单调算子方程某些已

2、知相应结果.关键词:锥与半序;反向混合单调算子;非对称迭代1引言在Banach空间中,混合单调算子和反向混合单调算子是两类重要的算子,广泛存在于非线性积分方程和微分方程的应用中.对于混合单调算子,应用迭代方法已得到了许多好的[125]结果,但对反向混合单调算子解的存在性问题却很少涉及.本文利用了非对称迭代法讨论了半序空间中反向混合单调算子解的存在性唯一性,并给出了迭代序列收敛于解的误差估计.以下总假设E为实Banach空间,P为E中正规锥(即vN>0,使得0≤u≤v蕴含[7]u≤Nv,N为其正规常数),H表示E中的零元素,E中半序≤

3、由锥P导出,设u0,v0∈E且u00,rK+M+B<1,满足Au,v-

4、Av,u≤Bv-u,当u03≤u≤v≤v0时;则反向混合单调算子Au,v在D=u0,v0上有唯一的不动点x,即3Ax3,x3=x构造迭代序列un+1=Avn,un-Mvn-un,vn+1=Aun,vn+Kvn-un,n=1,2,⋯(1)3都收敛于x,且有误差估计3nunvn-x≤NrM+K+Bv0-u0(2)收稿日期:2008208206基金项目:河南省教委科研基金(200410483004).200数学的实践与认识39卷证明1°用数学归纳法验证un-1≤un≤vn≤vn-1,n=1,2,⋯(3)事实上,n=1时,由条件(É)知u0

5、≤Av0,u0-Mv0-u0=u1≤Av0,u0≤Au0,v0+Kv0-u0=v1≤v0,式(3)成立.假设n=k时式(1)成立,即有uk-1≤uk≤vk≤vk-1从而有Mvk-uk≤Mvk-1-uk-1,Kvk-uk≤Kvk-1-uk-1再由A的反向混合单调性知Avk-1,uk-1≤Avk,uk-1≤Auk,vk-1≤Auk,vk≤Auk-1,vk-1当n=k+1时,由归纳法假设得uk=Avk-1,uk-1-Mvk-1-uk-1≤Avk-1,uk-1-Mvk-uk≤Avk,uk-Mvk-uk=uk+1≤Avk,uk+Kvk-uk≤

6、Auk,vk+Kvk-uk=vk+1≤Auk-1,vk-1+Kvk-1-uk-1=vk式(3)成立.2°下面证明un和vn是E中的Cauchy序列.由1°和条件(Ê)和A的反向混合单调性知H≤vn-un=Aun-1,vn-1-Avn-1,un-1+Kvn-1-un-1+Mvn-1-un-1≤Bvn-1-un-1+K+Mvn-1-un-1≤(BI+K+M)vn-1-un-1=Hvn-1-un-1n≤⋯≤Hv0-u0其中H=K+M+BI,I为恒等算子.1n对任给的rK+M+B

7、1(参见[6]第五章定理3,4)可知存在n0,使得‖H‖≤rM+K+B,n≥n0.n根据P的正规性得‖vn‖-‖un‖≤NrM+K+B‖v0-u0‖.n又H≤un+m-un≤vn+m-un≤vn-un≤Hv0-u0nH≤vn-vn+m≤vn-un+m≤vn-un≤Hv0-u0从而n‖un+m‖-‖un‖≤NrM+K+B‖v0-u0‖(4)n‖vn‖-‖vn+m‖≤NrM+K+B‖v0-u0‖所以un和vn是E中的Cauchy序列.3333333°由E的完备性知,存在u,v∈E使un→u,vn→vn→∞,且un≤u≤v≤vn.33n3

8、33再由H≤v-u≤vn-un≤Hv0-u0与锥P的正规性,易知u=v=x∈D.24期赵晓晶,等:反向混合单调算子方程解的存在唯一性定理2013由un≤un+m≤vn令m→∞,得un≤x≤vn.33又由un≤Avn-1,un-1≤Ax