常微分方程解的存在唯一性定理的推广.doc

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1、河南科技学院2011届本科毕业论文论文题目：常微分方程解的存在唯一性定理的推广学生姓名：陈荣茂所在院系：数学系所学专业：数学与应用数学导师姓名：张清山完成时间：2011-5-18常微分方程解的存在唯一性定理的推广摘要常微分方程解的存在唯一性定理是微分方程理论中最基本的定理，也是现代动力系统中最重要的定理之一，以往人们熟悉和常用的解的存在唯一定理，它的使用条件约束性较强，因此影响了它的应用本毕业论文主要是推广初值问题：解的存在唯一性问题，我们要求满足条件,主要利用压缩映射定理证明微分方程解的存在唯一性，给出了判定常微分方程解的存在唯一性的一个充分条件，并且对定理的使用条件进行改进，扩大了定

2、理的使用范围，从而使得这个重要定理的应用更加广泛.关键字:存在唯一性，条件，不动点.AbstractTheexistenceanduniquenessofsolutionofsolutionforordinarydifferenticalequationisthemostbasictheoremtheoryindifferenticalequation.Hisalsooneofthemostimportanttheoryindynamicsystem.thewell-knowntheoremofexistenleanduniqnenssisrequiredLioschitzconditi

3、on.therefore,theconditionlimitsitsoppitcationscope.Inthisthesisweimporvetheconditionanddisscusstheexistenceanduniquenessoftheinitialproblem:Werequireconditionon.Usingthecontractionmappingtheorem.weprovetheexistenceanduniquenessoftheinitialproblem,Consequenthy,weimprovetheconditionofthetheoremandm

4、akeitusedwidely.Keywords：Existenceanduniqueness，conditions，Fixedpoint目录1.引言12.预备知识2引理2.1压缩映射定理2引理2.2不等式2定义2.1.Lipschitz条件2定义2.2条件2定义2.3.一致有界3定义2.4.等度连续3引理2.3.Arzela-Ascoli定理33.初值问题解的存在性33.1.定理133.2.定理243.3.定理353.4.定理46参考文献9致谢101.引言研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动地解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况，对于某一运动规律的微分方程，如果能找

5、出其通解的表达式，一般来说，就能按照给定的一定条件相应选定其中的任意常数，通过的所需要的通解求其表达式了解他对某些参数的依赖情况，从而适当地选择参数，使得对应的解具有所需要的性能。因此，对初值问题的研究就被提到重要的地位，那么，我们自然要问初值问题的解是否存在?如果存在是否唯一？求微分方程的满足初始条件的解的问题称为初值问题.方程的初值问题常记为：①本论文主要讨论初值问题①的解的存在唯一性成立的条件,解此类问题看成求映射空间“不动点”的问题，本文利用压缩映射原理对方程解的存在唯一性定理做了很好的回答，它明确的肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性，它是常微分方程理论中最基本的定理。有

6、着其重大的理论意义和理论基础，本文在证明过程中还对定理的条件进行了改进，使其在解初值问题上的使用性更强。一般来讲，利用压缩映射研究①的存在唯一性是通过讨论相应的积分方程：来实现的。2.预备知识先引入一些基本概念及后面证明用到的引理.引理2.1（压缩映射原理）设是完备距离空间，：,并且对任意，不等式：10成立，其中，则存在唯一的，使得引理2.2（不等式）其中，当时，，当时，证明：当时，取，由于，所以是凸函数，利用不等式：所以得当时，不妨假设当，由单调性可得：，得，即证.定义2.1（Lipschitz条件）：称为区域上关于满足Lipschitz条件,如果存在常数,使不等式：对所有的，都成立。

7、定义2.2（条件）：称为区域上关于满足条件，如果存在常数，使不等式：对所有的，都成立。定义2.3（一致有界）设为定义在某一区间上的函数10所成的族，如果存在常数，使得对所有的及一切的不等式成立，则称函数族是一致有界的。定义2.4（等度连续）如果对于每一个，可以找到，使得对于的中的一切点及一切，不等式成立，则族称为等度连续的。作为本文章定理4的证明我们给出下面引理引理2.3（Arzela-Ascoli定理）给定DC[a,b]，则D在C