常微分方程2.2解的存在唯一性定理

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1、§2.2解的存在唯一性定理和逐步逼近法/Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod/概念和定义存在唯一性定理内容提要/ConstantAbstract/§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod本节要求/Requirements/掌握逐步逼近方法的本思想深刻理解解的存在唯一性定理的条件与结论§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod一、概念

2、与定义/ConceptandDefinition/1.一阶方程的初值问题(Cauchyproblem)表示§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2.利普希兹条件函数称为在矩形域:…………(3.1.5)关于y满足利普希兹(Lipschitz)条件，如果存在常数L>0使得不等式对所有都成立。L称为利普希兹常数。§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod二、存在唯一性定理定理1如果f(x,y)在

3、R上连续且关于y满足利普希兹条件,则方程(3.1.1)存在唯一的连续解定义在区间,且满足初始条件这里§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod定理1的证明需要证明五个命题：命题1求解微分方程的初值问题等价于求解一个积分方程命题2构造一个连续的逐步逼近序列命题3证明此逐步逼近序列一致收敛命题4证明此收敛的极限函数为所求初值问题的解命题5证明唯一性§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMetho

4、d定理1的证明命题1设是初值问题的解的充要条件是是积分方程……(3.1.6)的定义于上的连续解。证明:微分方程的初值问题的解满足积分方程（3.1.6）。积分方程（3.1.6）的连续解是微分方程的初值问题的解。§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod证明因为是方程(3.1.1)的解，故有:两边从积分得到:把(3.1.2)代入上式,即有:因此,是积分方程在上的连续解.§2.2Existence&UniquenessTheorem&Progressiv

5、eMethod反之，如果是(3.1.6)的连续解，则有：………(3.1.8)微分之，得到:又把代入(3.1.8)，得到:因此，是方程(3.1.1)定义于上，且满足初始条件(3.1.2)的解。命题1证毕.同理，可证在也成立。§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod现在取，构造皮卡逐步逼近函数序列如下:§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethodxyox0x0+ax0-ay0y0-by0+bx0-

6、hx0+h§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod命题2对于所有的(3.1.9)中函数在上有定义、连续，即满足不等式:证明:（只在正半区间来证明，另半区间的证明类似）当n=1时,§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod即命题2当n=1时成立。现在用数学归纳法证明对于任何正整数n，命题2都成立。即当n=k时，在也就是满足不等式在上有定义,连续上有定义，连续，而当n=k+1时，上有定义，连续。

7、在§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod即命题２在n=k＋１时也成立。由数学归纳法得知命题２对于所有n均成立。命题３在上是一致收敛的。命题２证毕函数序列考虑级数:它的部分和为：§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod为此，进行如下的估计，由逐步逼近序列(3.1.9)有:§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod设对于正整数n,不等式

8、成立，于是，由数学归纳法得到：对于所有的正整数k，有如下的估计:§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod由此可知，当时(3.1.14)的右端是正项收敛级数的一般项，由维尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法(简称维氏判别法),级数(3.1.11)在上一致收敛,因而序列也在上一致收敛。命题3证毕§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveM