常微分方程解的存在唯一性定理.doc

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1、1解的存在唯一性解的存在唯一性定理是指方程的解在一定条件下的存在性和唯一性，它是常微分方程理论中最基本的定理，有其重大的理论意义，另一方面由于能求得精确解的微分方程并不多，常微分方程的近似解法具有十分重要的意义，而解的存在唯一性又是近似解的前提，试想，如果解都不存在，花费精力去求其近似解有什么意义呢？如果解存在但不唯一，但不知道要确定的是哪一个解，又要去近似的求其解，又是没有意义的。2解的存在唯一性定理一定理1如果函数f(x,y)在矩形域R上连续且关于y满足利普希茨条件，则方程dx/dy=f(x,y);存在唯一的解y=φ(x)，

2、定义于区间

3、x-x0

4、<=h上，连续且满足初值条件φ(x0)=y0,这里h=min(a,b/M),M=max

5、f(x,y)

6、。命题1设y=φ(x)是方程的定义于区间x0<=x<=x0+h上，满足初值条件φ(x0)=y0的解，则y=φ(x)是积分方程y=y0+∫f(x,y)dx,x0<=x<=x0+h的定义于x0<=x<=x0+h上的连续解，反之亦然。命题2对于所有的n，皮卡逐步逼近函数φn(x)在x0<=x<=x0+h上有定义，连续且满足不等式

7、φn(x)-y0

8、<=b。命题3函数序列{φn(x)}在x0<=x<=x0+h上已收

9、敛的。命题4φn(x)是积分方程的定义于x0<=x<=x0+h上的连续解命题5设ψ(x)是积分方程的定义于x0<=x<=x0+h的另一个解，则ψ(x)=φ(x)(x0<=x<=x0+