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时间:2018-12-27
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1、常微分方程教程第三章信计09级 一阶常微分方程解的存在唯一性定理与逐步逼近法3.1.1存在唯一性定理1)首先考虑导数已解出的一阶微分方程(3.1.1.1)这里是在矩形域(3.1.1.2)上的连续函数。定义1 如果存在常数,使得不等式 对于所有 都成立,则函数称为在上关于满足利普希茨(Lipschitz)条件,称为利普希茨常数。定理3.1如果在上连续且关于满足利普希茨条件,则方程(3.1.1.1)存在唯一的解,定义于区间上,连续且满足初始条件 (3.1.1.3)这里,。 我们采用皮卡(Picard)的逐步逼近法来证明这个定理。为简单起见,只就区间来讨论,对于的讨论完全一样。现在简
2、单叙述一下运用逐步逼近法证明定理的主要思想。首先证明求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程 的连续解。然后去证明积分方程的解的存在唯一性。任取一个连续函数代入上面积分方程右端的,就得到函数 ,显然也是连续函数,如果,那末就是积分方程的解。9常微分方程教程第三章信计09级否则,我们又把代入积分方程右端的,得到 ,如果,那末就是积分方程的解。否则我们继续这个步骤。一般地作函数 (3.1.1.4)这样就得到连续函数序列:,,…,,….如果,那末就是积分方程的解。如果始终不发生这种情况,我们可以证明上面的函数序列有一个极限函数,即 存在,因而对(3.1.1.4)取极限时,就得到
3、 即,这就是说是积分方程的解。这种一步一步地求出方程的解的方法就称为逐步逼近法。由(3.1.1.4)确定的函数称为初值问题(3.1.1.1)、(3.1.1.3)的第次近似解。在定理的假设条件下,以上的步骤是可以实现的。下面我们分五个命题来证明定理1。9常微分方程教程第三章信计09级 命题1设是方程(3.1.1.1)的定义于区间上,满足初始条件(3.1.1.3)的解,则是积分方程 (3.1.1.5)的定义于上的连续解。反之亦然。 证明 因为是方程(3.1.1.1)的解,故有,两边从到取定积分得到 把(3.1.1.3)代入上式,即有 因此,是(3.1.
4、1.5)的定义于上的连续解。 反之,如果是(3.1.1.5)的连续解,则有 (3.1.1.6)微分之,得到,又把代入(3.1.1.6),得到。因此,是方程(3.1.1.1)的定义于 上,且满足初始条件(3.1.1.3)的解。命题1证毕。 现在取,构造皮卡逐步逼近函数序列如下: (3.1.1.7) 命题2 对于所有的,(3.1.1.7)中函数在上有定义、连续且满足不等式(3.1.1.8)。9常微分方程教程第三章信计09级 证明 当时,。显然在上有定义、连续且有 即命题2当时成立。现在我们用数学归纳法证明对于任何正整数,命题2都成立。为此,设命题2当时成立,也即在上有
5、定义、连续且满足不等式,这时,由假设,命题2当成立,知道在上有定义、连续且有 即命题2当时也成立。由数学归纳法得知命题2对于所有均成立。命题2证毕。 命题3 函数序列在上是一致收敛的。 证明 考虑级数 (3.1.1.9)它的部分和为因此,要证明函数序列在上是一致收敛,只须证明级数(3.1.1.9)在上一致收敛。为此,我们进行如下的估计。由(3.1.1.7)有 (3.1.1.10)及利用利普希茨条件及(3.1.1.10),得到9常微分方程教程第三章信计09级设对于正整数,不等式 成立,则由利普希茨条件,当时,有 于是,由数学归纳法得知,对于所有
6、的正整数,有如下估计 (3.1.1.11)从而可知,当时, (3.1.1.12)(3.1.1.12)的右端是正项收敛级数 的一般项。由维尔斯特拉斯(Weietstrass)判别法(简称维氏判别法),级数(3.1.1.9)在上一致收敛,因而序列也在上一致收敛。 命题3证毕。 现设 则也在上连续,且由(3.1.1.8)又可知。 命题4 是积分方程(3.1.1.5)的定义于上的连续解。 证明 由利普希茨条件,以及在上一致收敛于,即知序列在9常微分方程教程第三章信计09级上一致收敛于。因而,对(3.1.1.7)两边取极限,得到 即 ,这就是说,是积分方程(3.1.1.5)
7、的定义于上的连续解。 命题4证毕。命题5 设是积分方程(3.1.1.5)的定义于上的一个连续解,则, 。 证明 我们首先证明也是序列的一致收敛极限函数。为此,从, ,我们可以进行如下估计 现设 ,则有 故由数学归纳法得知,对于所有的正整数,有下面的估计式 (3.1.1.13)9常微分方程教程第三章信计09级因此,在上有 (3.1.1.14) 是收敛级数的公项,故时。因而在上一致收敛于。根据极限的唯一性,即得 。
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