常微分方程31解的存在唯一性定理与逐步逼近法

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1、第三章一阶微分方程的解的存在定理7/16/2021常微分方程7/16/2021常微分方程需解决的问题7/16/2021常微分方程§3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法7/16/2021常微分方程一存在唯一性定理1定理1考虑初值问题7/16/2021常微分方程(1)初值问题(3.1)的解等价于积分方程的连续解.证明思路(2)构造(3.5)近似解函数列7/16/2021常微分方程(逐步求(3.5)的解,逐步逼近法)7/16/2021常微分方程这是为了即7/16/2021常微分方程7/16/2021常微分方程下面分五个命题来证明

2、定理,为此先给出积分方程的解如果一个数学关系式中含有定积分符号且在定积分符号下含有未知函数,则称这样的关系式为积分方程.积分方程7/16/2021常微分方程命题1初值问题(3.1)等价于积分方程证明:即7/16/2021常微分方程反之故对上式两边求导,得且7/16/2021常微分方程构造Picard逐步逼近函数列问题:这样构造的函数列是否行得通,即上述的积分是否有意义?注7/16/2021常微分方程命题2证明:(用数学归纳法)7/16/2021常微分方程7/16/2021常微分方程命题3证明:考虑函数项级数它的前n项部分和

3、为7/16/2021常微分方程对级数(3.9)的通项进行估计7/16/2021常微分方程7/16/2021常微分方程于是由数学归纳法得知,对所有正整数n,有7/16/2021常微分方程现设命题4证明:7/16/2021常微分方程即7/16/2021常微分方程命题5证明:由7/16/2021常微分方程7/16/2021常微分方程综合命题1—5得到存在唯一性定理的证明.7/16/2021常微分方程一存在唯一性定理1定理1考虑初值问题7/16/2021常微分方程命题1初值问题(3.1)等价于积分方程构造Picard逐步逼近函数列

4、命题27/16/2021常微分方程命题3命题4命题57/16/2021常微分方程2存在唯一性定理的说明7/16/2021常微分方程7/16/2021常微分方程7/16/2021常微分方程7/16/2021常微分方程3一阶隐方程解存在唯一性定理定理2考虑一阶隐方程则方程(3.5)存在唯一解满足初始条件7/16/2021常微分方程三近似计算和误差估计求方程近似解的方法---Picard逐步逼近法,这里7/16/2021常微分方程注:上式可用数学归纳法证明则7/16/2021常微分方程例1讨论初值问题解的存在唯一区间,并求在此区

5、间上与真正解的误差不超解由于由(3.19)7/16/2021常微分方程7/16/2021常微分方程例2求初值问题解的存在唯一区间.解7/16/2021常微分方程例3利用Picard迭代法求初值问题的解.解与初值问题等价的积分方程为7/16/2021常微分方程其迭代序列分别为取极限得即初值问题的解为7/16/2021常微分方程作业P781,3,4,87/16/2021常微分方程