常微分方程解的存在唯一性定理证明_聂东明.pdf

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1、第32卷第4期重庆工商大学学报(自然科学版)2015年4月Vol.32NO．4JChongqingTechnolBusinessUniv.(NatSciEd)Apr．2015doi:10．16055/j．issn．1672－058X．2015．0004．010*常微分方程解的存在唯一性定理证明聂东明，李海霞，刘家保(安徽新华学院公共课教学部，合肥230088)摘要:微分方程解的存在唯一性证明一直以来都是教学的难点，运用不同方法，从不同角度讨论一阶微分方程解的存在唯一性，以期能有更好的方法证明解的存在唯一性．关键词:常微分方程;初值问题;解的存在唯一中图分类

2、号:O175．1文献标识码:A文章编号:1672－058X(2015)04－0036－04常微分方程是一门应用性较强的课程，它在数学、物理、天文和工程技术等领域有着广泛应用．一阶微分方程初值问题解的存在唯一性定理既是微分方程的理论基础，又是常微分方程的精华所在，在很多教材［1－3］［4，5］中都是作为重点章节来讲述，而且一阶微分方程解的存在唯一性的应用也很广泛．此处从几个不同方面对解的存在唯一性定理加以明．dx解的存在唯一性定理一阶微分方程=f(t，x)的Cauchy初值问题dtdx=f(t，x){dt(1)x(t0)=x0若函数f(t，x)在矩形区域Ｒ=

3、{(t，x)

4、t－t0≤a，x－x0≤b}满足(1)f(t，x)在Ｒ上连续;(2)函数f(t，x)在Ｒ上关于x满足Lipschitz条件，即存在常数L＞0，使得对所有(t，x1)，(t，x2)∈Ｒ都有f(t，x1)－f(t，x2)≤Lx1－x2成立，则初值问题(1)在区间t－t0≤h上存在唯一解，其中h=minb{a，}，M=maxf(t，x)．M(t，x)∈Ｒ对于该定理，函数的连续性是为了保证方程解的存在，而Lipschitz条件是为了保证方程解的唯一性．1解的存在性证法1用Picard逼近方法证明．仅在［t0，t0+h］证明该问题，在［t0－h，t0］

5、上类似可得．显然该问题解的存在性与积分方程(2)的解等价tx=x0+∫f(s，x(s))ds，t0≤t≤t0+h(2)t0构造picard序列{φn(t)}，即令收稿日期:2014－08－19;修回日期:2014－09－25．*基金项目:安徽省高等学校省级自然科学基金项目(KJ2013B105);安徽新华学院质量工程(2012jgkcx03);安徽新华学院精品课程(2012jpkc03)．作者简介:聂东明(1981-)，女，河南南阳人，讲师，硕士研究生，从事偏微分方程研究．第4期聂东明，等:常微分方程解的存在唯一性定理证明37φ0(t)=x0，t0≤t≤t

6、0+ht(3){φn(t)=x0+∫f(s，φn－1(s))ds，t0≤t≤t0+h，n=1，2…t0命题1该序列在[t0，t0+h]上有定义且连续，并且φn－x0≤b．证明由于f(t，x(t))在矩形区域Ｒ上连续，则{φn(t)}在[t0，t0+h]上连续．当n=1时，ttφ1－φ0=∫f(s，φ0(s))ds≤∫f(s，φ0(s))ds≤Mt－t0≤Mh≤bt0t0假设当n－1时成立，即φn－1在[t0，t0+h]上有定义且连续，且φn－1－x0≤b，则ttφn－φ0=∫f(s，φn－1(s))ds≤∫f(s，φn－1(s))ds≤Mt－t0≤Mh≤b

7、t0t0由归纳法知{φn(t)}在[t0，t0+h]上有定义连续且φn－x0≤b．命题2序列{φn(t)}在[t0，t0+h]上一致收敛．∞证明考察函数项级数φ0(t)+Σ［φn(t)－φ0(t)］，显然函数项级数的部分和为φn(t)．故要证命题n=12，只需证明函数项级数一致收敛即可．由于ttφ1－φ0=∫f(s，φ0(s))ds≤∫f(s，φ0(s))ds≤M(t－t0)t0t0tφ2－φ1=∫f(s，φ1(s))－f(s，φ0(s))ds≤t0tL∫φ1(s)－φ0(s)ds≤t0tLM2LM∫(s－t0)ds=(t－t0)t02!n－1LMn依次类

8、推，假设φn－φn－1≤(t－t0)，则n!tφn+1－φn=∫[f(s，φn(s))－f(s，φn－1(s))]ds≤t0tL∫φn(s)－φn－1(s)ds≤t0ntnLMnLMn+1∫(s－t0)ds=(t－t0)n!t0(n+1)!nnLMn+1MLn+1则由数学归纳法可知φn+1－φn≤(t－t0)≤h，由比值判别法可知级(n+1)!(n+1)!∞n∞MLn+1数Σh收敛．故由Weierstrass判别法得级数φ0(t)+Σ［φn(t)－φ0(t)］一致收敛．n=1(n+1)!n=1命题3limφ(t)=φ(t)是积分方程的解．n→∞n证明由于{

9、φn(t)}在[t0，t0+h]上一致收敛，令limφn(t)=φ