解的存在唯一性定理证明.doc

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1、解的存在唯一性定理利用逐次逼近法，来证明微分方程的初值问题的解存在与唯一性定理。一、【存在、唯一性定理叙述】如果方程的右端函数在闭矩形区域上满足如下条件：（1）、在上连续；（2）、在上关于变量满足利普希茨条件，即存在常数，使对于上任何一点和有以下不等式：。则初值问题在区间上存在唯一解，其中二、【证明】逐步迫近法：微分方程等价于积分方程。取，定义可证明的满足积分方程。通过逐步迫近法可证明解的存在唯一性。命题1：先证积分方程与微分方程等价：设是微分方程定义于区间上满足初值条件的解，则是积分方程定义于区间上的连续解。反之亦然。证：因是微分方程的解，有两边

2、从到取定积分，得：代入初值条件得：即是积分方程定义于区间上的连续解。反之，则有微分得：且当时有。即是微分方程定义于区间上满足初值条件的解。现取，代入积分方程的右端，所得函数用表示，则，再将代入积分方程的右端，所得函数用表示，则，以上称为1次近似,称为2次近似。以此类推得到次近似。从而构造逐步迫近函数序列为：命题2：对所有,函数序列在上有定义、连续且满足不等式证：当时，。显然在上有定义、连续且有，即命题2当时成立。由数学归纳法，设命题2当时成立，则对有：知在上有定义、连续且有命题2当时也成立。由数学归纳法原理得命题2对所有均成立。命题3：函数序列在上

3、一致收敛。证：只须考虑级数-----（*）在上一致收敛。因其部分和为：，因，设对成立。则当时有即对所有，在成立。其右端组成正项收敛级数由魏氏判别法，级数（*）在上一致收敛。即在上一致收敛。命题3得证。现设则在上有定义、连续且命题4：是积分方程在上的连续解。证：由利普希茨条件及在上一致收敛于，知函数序列在上一致收敛于。于是即是积分方程在上的连续解。命题5：设是积分方程在上的另一连续解。则。证：现证也是序列在上的一致收敛极限函数。由，，得：，。设，则。由数学归纳法，对所有，有。因此，对所有，在有成立。但当时。故在上的一致收敛于。由极限的唯一性，得。