3-19 - 一阶微分方程解存在唯一性定理picard定理及其证明

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1、3.1一阶微分方程存在唯一性定理(ExistenceandUniquenessTheoremofInitialValueProblemofODE)[教学内容]1.上一章内容小结和习题课;2.介绍研究初值问题解的存在唯一性定理必要性;3.介绍柯西解的存在唯一性定理和Picard定理;4.介绍定理的证明.[教学重难点]重点是知道并会运用微分方程初值问题的解的存在唯一性定理，难点是如何引入了解定理的证明思路和过程[教学方法]自学1、2、3；讲授4、5课堂练习[考核目标]1.知道一阶微分方程的类型及其解法;2.知道Lipshitz条件和解的存在唯一性定理（

2、柯西版本和Picard版本）;3.知道Picard定理的证明思路和过程;4.会用Picard函数序列给出微分方程初值问题的近似函数解.5.了解和掌握Graonwall积分不等式.1.一阶微分方程类型及其初等解法小结（1）认识一阶微分方程：一阶线性方程（交换x,y或Bernoulli方程及其他可通过引入变量替换化为一阶线性方程的）、一阶可分离变量型方程（齐次方程以及其他可化为可分离变量型的）、一阶对称形式的恰当方程（通过引入积分因子可化为恰当方程的方程）一阶隐方程（可解出x或y的类型，以及x,y,y’只含有其中两个的方程类型）（2）解法常数变易公式、

3、Bernoulli方程的变量替换分离变量方法、齐次方程的变量替换恰当方程的解法、积分因子的求法隐方程的求导法和参数法（3）例题上述提到的方程类型各举出一个例子来，并用上面的方法来求解，允许一题多解.（4）介绍一些可以化为微分方程来求解的函数方程和积分方程（参见上节讲义）.（5）预告：下周二上午第一节课进行上一章测试，请相互转告.2.必要准备：数学中的进化论生物上，比如水稻品种一代一代通过基因重组往高产优质方向优化，还有如下图片.在数学上也有类似的进化过程，下面就说一说.（1）考察三次代数方程x3+4x-20.该方程没有有理根.该方程只有唯一实根且落

4、在[0,1].下面有两种思路来找到该方程的根.思路一：运用连续函数的零点定理,记表示第一代；将平分为两个子区间，取满足如下条件子区间作为第二代，即；将平分为两个子区间，取满足如下条件子区间作为第三代，即；将平分为两个子区间，取满足如下条件子区间作为第四代，即；......这样下去，越来越接近方程的根x0.473466,其中误差就是.思路二：运用教材P89习题9的结论和证明过程，改写方程为，记则方程就是，方程的根也就是函数f(x)的不动点.可以验证f(x)满足教材P89习题9的条件（自行验证）,于是方程的根存在且唯一，下面就用进化的思想来寻找方程的根

5、.选取第一代（这里可以选其他实数）；经过进化机制（用f(x)作用一下）得到第二代；再经过进化机制（用f(x)作用一下）得到第三代；再经过进化机制（用f(x)作用一下）得到第四代；再经过进化机制（用f(x)作用一下）得到第五代；再经过进化机制（用f(x)作用一下）得到第六代；......越来越接近方程的根x0.473466.打个比方，把方程的根比作我们想要的某种属性的对象，我们可以通过迭代（进化）过程来把它造出来或找出来。上面的解决过程有两个方面需要研究，（一）理论方面按照上述进化机制，是否一定能找到符合属性的对象，比如上例中的近似解？当然在上例中思

6、路一运用闭区间套定理和连续函数的保不等式性立得肯定性结论；在思路二中由教材P89习题9的结论也可得肯定性结论.（二）实用方面，如何来设计进化机制，使得进化的时间越短，但进化出的对象越好？比如思路一和思路二就可以比较一下了。再比如说，选取，则方程x3+4x-20的根就是F(x)=x的不动点.选取第一代（这里可以选其他实数）；经过进化机制（用F(x)作用一下）得到第二代；再经过进化机制（用F(x)作用一下）得到第三代；再经过进化机制（用F(x)作用一下）得到第四代，与精确根x0.473466相差很小，显然F(x)比上面两种进化机制要好！如何对具体问题来

7、设计进化机制呢？这就像曹冲称象，仁者见仁，智者见智.上面我们说的是通过进化来找代数方程的根，这节我们要通过进化思想来找微分方程初值问题的解函数.3.必要准备：函数列敛散性、一致收敛性、函数项级数一致收敛性、求极限与积分交换次序定理的条件、Gronwall不等式.（1）函数列(函数项级数)收敛和一致收敛(参见《数学分析》下P27定义1和P29定理13.2，只要求知道条件和结论，不要求会证明)：在上收敛，但在上不一致收敛.函数项级数敛散性由其部分和函数列敛散性来刻画，比如的敛散性就是函数列的敛散性；有时函数列的敛散性也转化为相应的函数项级数来研究.（2

8、）函数项级数一致收敛性判定：M判别法（优级数判别法）参见《数学分析》下P32定理13.5和例题5，以及P35习题3(1)(