存在与唯一性定理的证明.doc

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1、存在与唯一性定理的证明定义:设函数在闭区域上有定义,如果存在常数,使对任何均满足不等式,则称在上关于满足条件,称为常数定理:设在闭矩形域:上连续,且关于满足条件,则初值问题·········①在区间上有且只有一个解,其中证明:整个证明过程分成如下五个部分Ⅰ,首先证明求初值①的解等价于求积分方程··········②的连续解。事实上,若是初值问题①的解,则有由此,在上连续,从而可积,于是对恒等式积分并利用初始条件,得到即,是积分方程②的解反之,设是方程②的连续解,即有恒等式因为在上连续,故右端是积分上限的

2、可微函数,从而在可微于是将两边对求导,得恒等式,并令得,因此是初值问题①的解因此,我们只需证明积分方程②存在唯一定义在区间上的连续解。我们采用的逐次逼近法来证明,基本思路就是在所设条件下构造出一个一致收敛的连续函数序列,它的极限函数恰是积分方程②的唯一解Ⅱ,用逐次迭代法在区间上构造逐次近似的连续函数序列··········③当时,注意到是上的连续函数,所以由③知在上是连续可微的,而且满足不等式于是在区间上因此,在上是连续的,所以由式③知在区间上是连续可微的,而且满足于是在区间上以此类推,应用数学归纳法易

3、证:由③式给出的所谓序列是区间上的连续函数序列,而且满足不等式Ⅲ,证明序列在区间上一致收敛考虑级数··········④它的部分和为,于是,要证明序列在区间上一致收敛,只需证明级数④在上一致收敛。为此我们归纳证明不等式:·······⑤在上成立事实上,当时由知式⑤成立,假设当时⑤式成立,即有在上成立则由式③知根据条件和归纳假设得即当时式⑤也成立,因此有数学归纳法知式⑤得证因当时,,故由式⑤知因正项级数收敛,故由函数项级数一致收敛的(魏尔斯特拉斯)判别法知级数④在区间上一致收敛从而序列在区间上一致收敛设其

4、极限函数为,即当时一致的有则在上是连续的且由推知Ⅳ,证明是积分方程②的解在式③两端令得到因此问题归结为证明因序列在上一致收敛,则任给,存在自然数,当时,对中所有有故当时,由条件知因此式成立因而当时有,所以是积分方程②的一个连续解Ⅴ,证明积分方程②的连续解的唯一性设也是方程②的定义在区间上的连续解,则于是与步骤Ⅲ类似,可归纳证明得在上成立从而序列在区间上也一致收敛与,因此我们推出所以,积分方程②的连续解是唯一的。至此,定理得证。【注】定理中数的几何意义因为在闭矩形域上有,所以方程的积分曲线上任一点的切线斜

5、率介于与之间。过点分别引斜率为与的直线和:,当时,如图㈠所示;当时,如图㈡所示显然方程过点的积分曲线(如果存在的话)不可能进入图㈠或㈡所示的两个阴影区域内。若(即)由图㈠可见解在整个区间上有定义;若(即)由㈡可见,不能保证解在上有定义。它可能在或外到达的上边界或下边界,于是,当或时,没有定义。此时,由于点的横坐标分别为及,故可保证解在区间上有定义。综上,只要取,则当时,有,即当时,积分曲线不会跃出闭矩形域

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