7存在唯一性定理

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1、第三章一阶微分方程解的存在定理问题的提出在前一章中，我们学习了用初等方法求解一阶方程的几种类型。但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解，而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此把问题集中在Cauchy问题求解上，与代数方程类似，对于不能用初等方法求解的微分方程，往往采用数值方法求解。这就需要解决以下问题需解决的问题初值问题（E）：存在唯一性定理定理1则初值问题(E)在区间存在唯一的连续解若f(x,y)在矩形域上满足：(1)连续；(2)关于y满足Lipschitz条件；1.利普希兹条件函数称为在矩形域:关于y满足利普希兹(Lipschitz)条

2、件，如果存在常数L>0使得不等式对所有都成立。L称为利普希兹常数。说明：2.定理1的证明需要证明五个命题：命题1求解微分方程的初值问题等价于求解一个积分方程命题2构造一个连续的Picard逐步逼近序列命题3证明此序列一致收敛命题4证明此收敛的极限函数为所求初值问题的解命题5证明唯一性积分方程的解如果一个数学关系式中含有定积分符号且在定积分符号下含有未知函数,则称这样的关系式为积分方程.积分方程定理1的证明命题1设是初值问题的解的充要条件是是积分方程……(3.5)的定义于上的连续解。证明:微分方程的初值问题的解满足积分方程（3.5）。积分方程(3.5)的连续解是

3、微分方程的初值问题的解。证明1)因为是(E)的解，故有:两边从积分得到:即因此,是积分方程在上的连续解.(2)如果是(3.5)的连续解，则有：………(3.6)微分之，得到:又把代入(3.6)，得到:因此，是初值问题(E)定义于命题1证毕.同理，可证在也成立。上的解。构造Picard逐步逼近函数列问题:这样构造的函数列是否行得通,即上述的积分是否有意义?注命题2对于所有的(3.7)中函数在上有定义、连续，且满足不等式:证明:（只在正半区间来证明，另半区间的证明类似）10当n=1时,下面用数学归纳法证明对于任何正整数n，命题2都成立。20假设当n=k时成立，即在上有定义，连

4、续，且则当n=k+1时，由上有定义，连续，且知在命题３在上是一致收敛的。函数序列思路:构造函数项级数它的前n项部分和为下面用归纳法证明如下不等式：设对于正整数n,不等式成立，于是，由数学归纳法得到：对于所有的正整数k，有如下的估计:由此可知，当时其右端是正项收敛级数的一般项，由Weierstrass判别法,级数(3.9)在上一致收敛,因而序列也在上一致收敛。命题3证毕现设命题4命题5(唯一性)也是积分方程(3.5)的定义于上的一个连续解,则若存在唯一性定理1定理1考虑初值问题命题1初值问题(3.1)等价于积分方程构造Picard逐步逼近函数列命题2命题3命题4命题5附注

5、/Remark/1）如果在R上存在且连续,则f(x,y)在R上关于y满足利普希兹条件，反之不成立。证在R上连续，则在R上有界，记为L由中值定理故f(x,y)在R上关于y满足利普希兹条件。存在唯一性定理的说明2)定理1中的两个条件(连续,Lipscitz条件)是保证Cauchy（E）存在唯一的充分条件，而非必要条件。xyORP0x0y0x0+hy=(x)

6、xx0

7、hx0hx0ax0+ay0+by0b小结本节要求理解解的存在唯一性定理及其证明。掌握判断一个方程是否满足解的存在唯一性定理条件的方法。三、近似计算和误差估计第n次近似解第n次近似解的误差公式在(3.1

8、.6)中，令例1讨论初值问题解的存在唯一区间,并求在此区间上与真正解的误差不超作业P884,6,7