5.1 毕卡存在唯一性定理

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1、•5.1Picard存在唯一性定理中心定理−毕卡存在唯一性定理的叙述定理515.1考虑初值问题dy(E)=f(x,y),y(x)=y,00dx其中f(x,y)在矩形区域R：

2、x−x

3、≤a,

4、y−y

5、≤b00内连续，且对y满足L-条件⇒⇒则(E)在区间I=[x−h,x+h]上有并且00只有一个解，其中常数bh=min{a,},M=max

6、f(x,y)

7、.(x,y)∈RM对中对中定的心定理的认识认识：1定理中的h是如何算出来的？2.命题：(E)过(x,y)的解位于由直线00y−y=M(x−x),y−y=−M(x−x),0000所围的扇形区域内.3.h的值一般而言比较小，因

8、此定理给出了一个局部的存在唯一性结论.xy=y+f(s,y(s))ds.0∫x0定理的证明分四个步骤：一写出与初值问题等价的积分方程xy=y+f(s,y(s))ds.0∫x0二.做迭代函数列，并确定每的性每项的性质质三证明上述函数列在I内内致收一致收敛敛,从而解决解的存在性问题.四.证明初值问题的解唯一.与初值问题等价的积分方程xy=y+f(s,y(s))ds0∫x0四.证明初值问题的解唯一性.假设y=ϕ(x),y=ψ(x)，

9、x-x

10、≤δ(δ>0),是原初值0x问题的解,于是ϕ(x)=y+f(s,ϕ(s))ds,0∫x0xψ()(x)=y+f(s,ψ(s))ds,0

11、∫x0x⇒

12、ϕ(x)-ψ(x)

13、=

14、∫[f(s,ϕ(s))−f(s,ψ(s))]ds

15、x0x≤∫

16、f(s,ϕ(s))−f(s,ψ(s))

17、dsx0(先考虑x>x的情况)0x用L−条件≤∫L

18、ϕ(s)−ψ(s)

19、ds.x0令g(x)=

20、ϕ(x)−ψ(x)

21、,x∈[x,x+δ].从而00xg(x)≤∫Lg(s)dsx0由37页3题的结论知g(x)≤0,故g(x)≡0.同理可以证明当x

22、则过这一点只能有一条积分曲线。换句话说，积分曲线不能在具有初值问题唯一性的点处相交.L−条件是唯一性的充分条件，但非必要条件(如作业1(2)不满足L−条件，但具有初值)问题解的唯一性.)除了L-条件外，还有别的条件也能保证唯一性，如Osgood条件.定理5.3(Osgood定理)叙述及其证明小结：本节重点和要求1.f(x,y)对y满足局部L-条件、整体L−条件的定义2.毕卡存在唯一性定理的叙述.3.唯一性部分的独立证明4.定理的证明能看懂.Peano存在性定理定理5.2考虑初值问题dy(E)=f(x,y),y(x)=y,00dx其中f(x,y)在矩形区域R：

23、x−x

24、

25、≤a,

26、y−y

27、≤b00内连续；⇒⇒则(E)在区间I=[x−h,x+h]上有并且00只有一个解，其中常数bh=min{{,a,},M=max

28、f(x,y)

29、.(x,y)∈RM