常微分方程课件-解的存在唯一性定理

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1、目录上页下页返回结束§2.2解的存在惟一性定理引入：对于给定的微分方程,它的通解一般有无限多个,而给定初始条件后,其解有时惟一,有时不惟一.确定给定初始条件的微分方程解的存在惟一性十分重要:(一)它是数值解和定性分析的前提;(二)若实际问题中建立的方程模型的解不是存在且惟一的,该模型就是一个坏模型.而同一方程满足例1:初值问题有解:在.的解为:.它的存在区间为例2:初值问题的解为:存在区间为例3:初始值问题:有无穷多解,存在区间为:2.2.1例子和思路例4:证明初值问题的解存在且惟一。证：若是初始值问题的解,两端

2、积分满足反之，若一个连续函数满足则它是的解。……取来证明构造迭代序列有解．由于收敛，且代入验证函数为初值问题的解,这就得到解的存在性。惟一性证明:设有两个解则可微，且满足这就证明了惟一性。2.2.2存在惟一性定理及其证明设在矩形区域上连续，如果有常数L>0,使得对于所有的都有:考虑微分方程:Lipschitz条件:(2.2.3)L称为Lipschitz常数。则称在R上关于y满足Lipschitz条件。注:若关于y的偏导数连续,则则在R上关于y满足Lipschitz条件。定理1:在R上连续且关于y满足在区间Lips

3、chitz条件，则初值问题一的解，其中上存在惟证明：若（１）将初值问题解的存在惟一性化为积分方程的解的存在惟一性．思路：(2.2.3)（２）构造积分方程迭代函数序列，并证明该序列收敛．（３）证明该序列的极限是积分方程的解．（４）证明惟一性．仅考虑上存在.详细证明：的解等价。(1)等价积分方程初值问题与积分方程(2.2.3)（2）构造Picard迭代数列这样就得到一个连续函数列Picard迭代序列。它称为（3)Picard序列的收敛性引理1.1对于一切续且满足连.证明:显然对一切的都有有定义且连则上满足:设在区间续

4、,证明：考虑函数项级数它的前估计级数通项:于是的一致收敛性与级数的一致收敛性等价。引理2.2上一致收敛。函数列项的部分和为:其中第二个不等式由Lipschitz条件可以得到，设：对有于是，由数学归纳法得，对于所有自然数k，有级数在上一致收敛。因为正项级数收敛,由Weiestrass判别法知，设:由的连续性和一致收敛性可得:在上连续.（4）Picard迭代数列的极限函数就是积分方程的连续解。引理1.3是积分方程定义于上的连续解。证明：由Lipschitz条件以及在上的一致收敛，得出函数序列在上一因而对取极限，得即这

5、表明是积分方程的连续解。收敛于函数.（5）解的惟一性证明：则引理1.4上的连续解，则必有是积分方程在设和令上的连续可微函数，则是定义于且令于是注1:定理中的几何意义:故取.注2:函数的连续性得解的存在性,Lipschitz条件得解的惟一性．注３:定理的结论只是在局部范围内给出解的存惟一性．在许多情况下，可反复使用该定理，使解的范围延拓到最大的区间．则在解有可能跑到之外．的解证明：取在矩形区域：连续，且它关于y有连续的偏导数。计算例５证明初始值问题：对等价的积分方程得故由解得存在唯一性定理可知，初始值问题的解内存在

6、唯一，当然也在内存在唯一。对于任意的正数函数在内连续，且对有连续的偏导数．因任意．先取使最大．解：的解存在唯一的区间．例６讨论初始值问题显然使得最大，且取则由定理得解的存在惟一区间为：再使用依次存在惟一性定理：，以令为区域的中心，讨论新的初始值问题：当时，取得最大值此时故取可得到解在上存在，事实上，初值问题的解是：存在区间为：内容小结微分方程解的存在惟一性迭代法构造解的思想