常微分方程1.2 解的存在唯一性

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1、§1.2解的存在惟一性对于给定的微分方程，它的通解一般有无限多个，而给定初始条件后，其解有时惟一，有时不惟一.给定初始条件的微分方程解的存在惟一性?(一)它是数值解和定性分析的前提;(二)若实际问题中建立的方程模型的解不是存在且惟一的，该模型就是一个坏模型.1例1:初值问题有解:.它的存在区间为例2:初值问题的解为:存在区间为初值问题的解:2例3:初始值问题:有无穷多解,存在区间为:31.2.1例子和思路例4:证明初值问题的解存在且惟一。证：若是初始值问题的解,两端积分满足反之，若一个连续函数满足则它是的解。4……取来证明构造迭代序列有解．5由于收敛，且代入验证函数为初值问题的解,这就得

2、到解的存在性。惟一性证明:设有两个解则可微，且满足这就证明了惟一性。61.2.2存在惟一性定理及其证明设在矩形区域上连续，如果有常数L>0,使得对于所有的都有:考虑微分方程:Lipschitz条件:(1.2.3)7L称为Lipschitz常数。则称在R上关于y满足Lipschitz条件。注:若关于y的偏导数连续,则在R上关于y满足Lipschitz条件。8一的解，其中上存在惟证明：定理1:在R上连续且关于y满足若（１）将初值问题解的存在惟一性化为积分方程解的存在惟一性．思路：在区间Lipschitz条件，则初值问题(1.2.3)9（２）构造积分方程迭代函数序列.（４）证明该序列的极限是积

3、分方程的解．（５）证明惟一性．仅考虑上存在.详细证明：(1)等价积分方程的解等价。初值问题与积分方程(1.2.3)（３）证明该迭代序列收敛．10（2）构造Picard迭代数列这样就得到一个连续函数列Picard迭代序列。它称为11（3)Picard序列的收敛性引理1.1对于一切续且满足连.则证明:显然对一切的都有有定义且上满足:设在区间连续,12证明：考虑函数项级数估计级数通项:于是的一致收敛性与级数的一致收敛性等价。引理1.2上一致收敛。函数列它的前项的部分和为:13其中第二个不等式由Lipschitz条件可以得到，设：对有14于是，由数学归纳法得，对于所有自然数k，有级数在上一致收敛

4、。因为正项级数收敛,由Weiestrass判别法知，设:由的连续性和一致收敛性可得:在上连续.15（4）Picard迭代数列的极限函数就是积分方程的连续解。引理1.3是积分方程定义于上的连续解。证明：由Lipschitz条件以及在上的一致收敛，得出函数序列在一致收敛于函数.上16因而对取极限，得即这表明是积分方程的连续解。17（5）解的惟一性证明：则引理1.4上的连续解，则必有是积分方程在设和令1819注1:定理中的几何意义:故取.注2:函数的连续性保证解的存在性,Lipschitz条件保证解的惟一性．注３:定理的结论只是在局部范围内给出解的存在惟一性．可反复使用该定理，使解的范围延拓到

5、最大的区间．在解有可能跑到之外．20的解证明：取在矩形区域：连续，且它关于y有连续的偏导数。例５　证明初始值问题：计算21对等价的积分方程得故由解得存在唯一性定理可知，初始值问题的内存在唯一。当然也在内存在唯一，解22内连续，且对有连续的偏导数．因任意．先取使最大．对于任意的正数函数在解：的解存在唯一的区间．例６讨论初始值问题23显然使得最大，且取则由定理得解的存在惟一区间为：再使用依次存在惟一性定理：，以令为区域的中心，讨论新的初始值问题：24当时，取得最大值此时故取可得到解在上存在，事实上，初值问题的解是：存在区间为：2526内容小结微分方程解的存在惟一性P.222，3（1，4）作业

6、迭代法构造解的思想27