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《banach空间中一类反向混合单调算子的不动点定理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第33卷/第2期/河北师范大学学报/自然科学版/Vol.33No.22009年3月JOURNALOFHEBEINORMALUNIVERSITY/NaturalScienceEdition/Mar.2009Banach空间中一类反向混合单调算子的不动点定理X徐华伟(商丘师范学院数学系,河南商丘476000)摘要:运用锥与半序理论和非对称迭代方法,讨论半序Banach空间一类反向混合单调算子方程解的存在唯一性,给出了迭代序列收敛于解的误差估计,推广讨论了非反向混合单调算子方程解的存在唯一性,所得结果改进和推广了混合单调算子方程某些已知相应结果.关键词:锥与半序;反向混合单调算子
2、;非对称迭代;不动点中图分类号:O177.91文献标识码:A文章编号:100025854(2009)0220176204在Banach空间中,混合单调算子和反向混合单调算子是2类重要的算子,对于混合单调算子,应用迭代[1～7]方法已得到了许多好的结果,但对反向混合单调算子解的存在性问题却很少涉及.本文中,笔者利用了非对称迭代法讨论了半序空间中反向混合单调算子解的存在性唯一性,并给出了迭代序列收敛于解的误差估计.1预备知识本文中,笔者总假设E为实Banach空间,θ表示E中的零元,非空闭凸集P3、[u0,v0]表示E中的序区间.定义1锥P称为正规的,如果存在N>0,使得θ≤x≤y有‖x‖≤N‖y‖,N为P的正规常数.定义2称二元算子B:D×D→E是反向混合单调算子,若u1≤u2,v2≤v1,ui,vi(i=1,2)∈[u0,[3]v0]时,B(u1,v1)≥B(u2,v2).333)=u3定义3u∈[u0,v0]称为A的不动点,如果A(u,u.2主要结果定理1设P是实Banach空间E中正规锥,A:D×D→E是反向混合单调算子,若存在常数α,β∈(0,1),α+β<1且满足1)u0+α(v0-u0)≤A(v0,u0),A(u0,v0)≤v0;2)‖A(u,v)-A(
4、v,u)‖≤β‖v-u‖,当u0≤u≤v≤v0时:3则反向混合单调算子A在[u0,v0]上有唯一的不动点x,迭代序列un+1=A(vn,un)-α(vn-un),vn+1=A(un,vn),n=0,1,2,⋯(1)3都收敛于x,且有误差估计(或v)-x3n‖unn‖≤N(α+β)‖v0-u0‖.(2)证考察迭代序列(1),显然un+1=A(vn,un)-α(vn-un),vn+1=A(un,vn),n=0,1,2,⋯.由条件1)知u0≤A(v0,u0)-α(v0-u0)=u1≤A(v0,u0)≤A(u0,v0)=v1≤v0,即u0≤u1≤v1≤v0.再由A的反向混合单调性及
5、归纳法假设有X收稿日期:2008204228;修回日期:2008206225基金项目:国家自然科学基金(10571011);河南省自然科学基金(072300410370)作者简介:徐华伟(19732),男,河南商丘人,讲师,研究方向为非线性泛函分析.·177·un-un-1=(A(vn-1,un-1)-A(vn-2,un-2))-(α(vn-1-un-1)-α(vn-2-un-2))≥θ,vn-1-vn=vn-1-A(un-1,vn-1)≥vn-1-A(un-2,vn-2)=θ,vn-un=A(un-1,vn-1)-A(vn-1,un-1)+α(vn-1-un-1)≥α(v
6、n-1-un-1)≥θ,故由归纳法可得u0≤u1≤⋯≤un≤⋯≤vn≤⋯≤v2≤v1≤v0.(3)根据条件2)得‖nn-vn‖=‖A(vn-1,nn-1)-α(vn-1-un-1)+A(un-1,vn-1)‖≤‖A(vn-1,nn-1)-A(nn-1,vn-1)‖+‖α(vn-1-un-1)‖≤β‖vn-1-un-1‖+α‖vn-1-un-1‖=(α+β)‖vn-1-un-1‖≤2n(α+β)‖vn-2-un-2‖≤⋯≤(α+β)‖v0-u0‖.(4)故由(3)知,对任意自然数n,p有θ≤un+p-un≤vn+p-un≤vn-un,θ≤vn-vn+p≤vn-un+p≤vn-
7、un.从而由(4)及P的正规性知n‖un+p-un‖≤‖vn-un‖≤N(α+β)‖v0-u0‖→0(n→∞),(5)n‖vn-vn+p‖≤‖vn-un‖≤N(α+β)‖v0-u0‖→0(n→∞).(6)33所以{un},{vn}均为Cauchy列,由E的完备性知,存在u,v∈E使33(n→∞),且u33un→u,vn→vn≤u≤v≤vn.33n33再由θ≤‖v-u‖≤‖vn-un‖≤(α+β)‖v0-u0‖与锥P的正规性,易知u=v=3x∈D.3由un≤un+p≤vn令p→∞得,un≤x≤vn,n=0,1,2,⋯
