锥b-Banach空间的不动点定理-论文.pdf

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1、第34卷湖北师范学院学报(自然科学版)V0L34第2期JournalofHubeiNormalUniversity(NaturalScience)No．2，2014锥b—Banach空间的不动点定理鲍宝国，卢冬晖(湖北师范学院数学与统计学院，湖北黄石435002)摘要：通过新定义锥b—Banach空间的概念，推广了雏Banach空间的概念，并推广了Karapinar的两个不动点定理。关键词：锥Banach空间；锥b—Banach空间；不动点中图分类号：0177．91文献标识码：A文章编号：1009-2714(2014)02．0058．03dol：10．3969／j．i

2、ssn．1009—2714．2014．02．013在2007年，黄龙光和张宪⋯通过用借助锥而定义的半序来代替实数之间的半序定义出锥度量空间的概念，之后，很多建立在锥度量空间的不动点定理被发表出来睢】。HussainN和ShahMHt4在2011年又在锥度量空间的基础之上，提出了锥b一度量空间，它讨论的范围比锥度量空间更大。最近，一个与锥度量空问紧密相关的锥Banach空间被定义出来，Karapinar[6把一些著名的度量空间的不动点定理推广到这个空间。在本文中，作者通过新定义锥b—Banach空间的概念，推广了锥Banach空间的概念，而且推广了Karapinar的两

3、个不动点定理。首先我们需要了解下面的定义。定义1【】]设是一个非空集合，d：×目，满足下列条件：1)d(，)≥(V，Y∈)，d(，y)==Y；2)(，)=d(Y，)；3)d(x，，，)≤d(，)+d(z，，，)(V，Y，z∈)称d为上的一个锥距离或锥度量，同时称(，d)为锥度量空间或锥距离空间．定义2设是一个向量空间，映射I1．：满足：I)IlI。≥(V∈X)，lIII。=皇=；2)II+Y『I。≤lIII+IIYII。(V，YE)；3)IlII=IkIllJ(V后∈唿，V∈)称lI·II。为上的一个锥范数，同时称(，lI·lI。)为锥赋范空间．定义31)设(x，Il

4、·lIc)为锥赋范空间，∈X且{}是中的一个序列，如果对于每个满足c》的c∈E，这里总存在一个自然数Ⅳ，使得对于所有的，l>N，都有lI一II《c，则称{}是收敛到，同时称为的极限，记为limx：或者(，l一∞)2)设(x，l1·ll。)为锥赋范空间，{}为x中的序列，如果对于每个满足c》的c∈E，这里总存在一个自然数Ⅳ，使得对于所有的，l，m>N，都有l1一Il。《c，那么称{}为中的Cauchy列．收稿日期：2Ol3—12—29作者简介：鲍宝国(1988一)，男，陕西韩城人，硕士研究生，主要从事不动点理论的研究·58·3)若对中的每个Cauchy列都收敛，称(，I

5、l·。)为完备的锥赋范空间．完备的锥赋范空间被称为锥Banach空间。定义4[‘设是一个非空集合，d：×E，满足下列条件：1)d(x，)，)≥(V，Y∈)，d(茗，，，)==，，；2)d(，’，)=d(y，)；3)d(X，)，)≤(，z)+sd(z，)，)(V，Y，zE)；称d为上的一个锥b度量，同时称(，d)为锥b度量空间．1主要结果定义5设是一个向量空间，映射II·ll。：满足：1)llll≥(V∈X)，llII。==；2)lI+YIl。≤sIlI1+sIlYIl。(V，Y∈X)；3)IJlJ。=II‘IJII。(Vk∈R，V∈)称I1．II。为上的一个锥b范数，

6、同时称(，ll·lI。)为锥b赋范空间．完备的锥b赋范空间被称为锥b—Banach空间。任意的锥b赋范空间都是锥b度量空间，实际上，我们可以令d(，Y)=ll-yII．例l设=足，P={(，Y)：舵}O，y≥O}CR，及I(茹，Y)ll。=(II，IyI)．那么(，lI·lI。)是一个锥b—Banach空间。注释1定义5推广了定义2，因为只要在定义5中令s=1，即可得到定义2，而且例1也足以支撑定义5中的锥b—Banach空间是存在的。定理1设C是锥b—Banach空间(，I·lI。)上的凸闭集，且定义lI。=d(，0)，映射：C_+C满足：d(，)+d(y，Ty)≤

7、gd(，)，)(1)对任意，Y∈C，0≤口<3，那么存在至少一个不动点。证明令为C中任意一点，定义{}：。=+÷男么一=一3(+1一)=3(一菇+。)(2)我们可得到d(，Tx)=I一=3‘d(，+)(3)结合(1)式，我们可得到：3d(x一1，)+3‘d(，+1)~qd(x一1，)因此，d(，+1)≤(，)，0≤．j}=<1，所以{}是C中的柯西列，又c为闭集，所以{x}收敛到∈C考虑到不等式d(z，Tx)≤sd(：，戈)+sd(x，Tx)=sd(z，)+s·yd(x，)我们令n-+∞，我们可得到我们令==及Y=代人(1)式及结合(3)式中，得d(