拟半Hausdorff度量空间中集值映像的不动点定理-论文.pdf

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1、第34卷湖北师范学院学报(自然科学版)Vo1．34第2期JournalofHubeiNormalUniversity(NaturalScience)No．2，2014拟半Hausdorf度量空间中集值映像的不动点定理黄东琴，柴国庆，常思进(湖北师范学院数学与统计学院，湖北黄石435002)摘要：给出了拟半Hausdorf度量的定义，证明拟半度量空间中拟半Hausdorf度量的一些性质，并利用这些性质证明了拟半度量空间中集值映像的不动点定理．关键词：拟半Hausdorf度量；不动点；集值映像中图分类号：0177．91文献标识码：A文章编号：1009-2714(2014)02。0052—0

2、6doi：10．3969／j．issn．1009—2714．2014．02．0120引言半度量空间是对度量空间的推广，即把度量空间中的条件d(，)=0替换成d(，)≤d(，Y)，半度量空间的定义和相关性质最先是由MatthewsD,2J提出的．拟半度量空间又是对半度量空间的推广，它是在半度量空间的基础上减少对称性这个条件，即不要求d(x，Y)：d(y，)．本文是在已有的关于拟半度量空间的研究，。，[的基础上，给出拟半度量空间中拓扑球的定义和拟半Hausdorff度量的定义，并且证明了拟半度量空间中的集值映像的不动点定理．1预备知识定义1设是一个集合，d是一个度量，C曰()是的所有有界闭

3、子集组成的集合．对任意A，B∈CB(X)，定义H(A，B)=max{supd(x，B)，suPd()，，A))为由度量d生成的Hausdorff度量．其中d(，曰)=inf{d(，Y)：yEB}．定义2设是任意非空集合，集值映像T：X--~CB(X)．如果存在0≤j}<1，对任意的，Y∈X，有日(，)≤(，)，)，我们就说是压缩的集值映像．定义3设为非空集合，对任意的，Y，z∈X，如果映像g：×一满足下列条件：1)女口果0≤口(，)=q(x，Y)=q(Y，Y)，男B么=Y，2)q(，)≤g(，)，)，3)g(，)≤g(y,x)，4)口(，z)+g()，，)，)≤q(，y)+q(Y，z)

4、．则称g为上的一个拟半度量，(，q)为拟半度量空间．上的每个拟半度量都在开球的基础上都生成一个拓扑．其中对任意的∈X，>0，我们将开收稿日期：2O14—Ol—2O作者简介：黄东琴(199o一)，女，河南平舆人，硕士研究生，主要研究方向为泛函分析·52·球曰。(，s)定义为B。(，)={Y∈X：max{q(x，Y)，q(Y，)}

5、=limq(x，)；2)中的序列{}是柯西列当且仅当limq(，)和limq(x，)存在且有限；3)拟半度量空间(X，q)完备当且仅当中的任意柯西列序列{}收敛于中一点．对于拓j：卜而言且口q(，)=limq(，)=limq(，)；4)设映像厂．，是中任意一点．如果对任意的s>0，存在6>0，使得(。，6))c，))，那么我们称映像厂在。连续．引理1设(，g)是一个拟半度量空间，(X，q)是相应的度量空间，那么下面的命题等价．1){}是(X，q)中的柯西列．2){}是(，q)中的柯西列．．引理22设(X，q)是一个拟半度量空间，(X，q)是相应的度量空问，那么下面的命题等价．1)(X，

6、q)是完备的．2)(，q)是完备的．并且limq(，)=O车g(，)=limq(x，)=liraq(x，)=limq(，)=limq(，)下面的引理对于证明主要结论有重要作用．引理3设(X，q)是一个拟半度量空间，那么下面的命题成立．1)如果q(，Y)=0或者q(Y，)-0，那么=Y．2)女口果≠)，，刃fi么q(x，)，)>O且g()，，)>0．2拟半度量空间中的拟半Hausdorff度量设(X，q)是一个拟半度量空间，CB(X)是的所有非空有界闭子集所组成的集合．其中闭是相对于(，)(r是由q生成的拓扑)而言，有界定义如下：任意ACX，如果存在‰∈和≥O，使得对任意∈A，有口EB(

7、o，M)，即max{g(口，0)，g(0，口)}