一类非线性系统的周期扰动Hopf分支-论文.pdf

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1、2014年6月纯粹数学与应用数学Jun．2014第3O卷第3期PureandAppliedMathematicsVo1．30NO．3一类非线性系统的周期扰动Hopf分支殷红燕(中南民族大学数学与统计学学院，湖北武汉430074)摘要：研究了小周期扰动对一类存在Hopf分支的非线性系统的影响．特别是应用平均法讨论了扰动频率与Hopf分支固有频率在共振及二阶次调和共振的情形周期解分支的存在性．表明了在某些参数区域内，系统存在调和解分支和次调和解分支，并进一步讨论了二阶次调和分支周期解的稳定性．关键词：Hopf分支；平均法；调和解分支；次调和解分支：稳

2、定性中图分类号：0175文献标识码：A文章编号：1008—5513(2014)03—0240—05DoI：10．3969／J．issn．1008—5513．2014．03．0041引言3托6c0一，l、：㈩收稿日期：2014—0228．基金项目：中央高校基本科研业务费专项资金(CZQ13016)．作者简介：殷红燕(1978一)，硕士，讲师，研究方向：微分方程定性理论第3期殷红燕：一类非线性系统的周期扰动Hopf分支241-#x+woy-X3棚，Idy(t)-wox+#y-x2y,㈤一。㈤=⋯⋯2．当=0时，系统(3)以(0,0)为唯一的平衡点，平

3、衡点是中心型的，且容易验证此平衡点是稳定的，当>0时，系统(3)以(0,0)为不稳定焦点．因此，当￡=0时，系统(1)和(2)2调和解分支首先，对系统(1)进行尺度变换，令1_÷￡￡，E，b￡b，叩_÷￡叩，，{dx(t)锄X=rsin(kT+)，Y=rcos(kT+)，其中k=．于是系统(4)化为：242纯粹数学与应用数学第30卷下面讨论=1的情形(共振情形)，忽略O(E)项，对(5)式进行积分平均得到由平均定理系统(6)的非平凡常数解对应于系统(4)的周期解．在系统(6)中令dr=0，=0，解得r所满足的方程为：)一+(。+z)r2一52．0

4、j(7)一打～打fI=其中=w／o，A●．I由于方程(7)的根关于原点对称，故只求【0，+。。)上的根即可．不难得出方程(7)＼三．．／＼正根分布情况如下：一1．当2—35,20时，对任意b>0，方程只有一个正实根(包含有三重根情形)．2．当2—一362H—>20，>0时，若b2∈Co，则方程(7)恰有三个正实根；若b2∈OC，则方6—2程(7)恰有两．个正实根(其中有一个是二重根)；若b∈Cc，则方程(7)只有一个正实根．这n里C={∈R10、J

5、9X2#-(3。)]，B2()=16[92一35,)g]．这样就得到了：定理2．1若系统(1)的参数>0，且=(二)(E)，b：O(￡)，叩：0(￡)，那么当￡充分小时系统(1)存在调和解分支，而且调和解的个数随着参数b的变化而不同．3次调和解分支和稳定性对系统(2)进行尺度变换，令￡2，￡2，￡，77叨，则系统(2)化为：dx(t)-e#x+woy-~x3-I-百(8)dy(t)=一oX+e一￡271与前文同样的方法，并且取=，再进行积分平均得到：=三(r一r3+sin2)，：===等+cOos2妒．‘第3期殷红燕：一类非线性系统的周期扰动Ho

6、pf分支243令=0，=0，解得r所满足的方程为：一2#4-1v2(11)d1dT2=[／(一．薰sin2。)+lrocos2~0)]，2=三(一)．其特征根是Pl=一r3，P2=n(2一r3)．因此，如果0(2一r3)<0，则非平凡解ro是稳定的．容易看出，当条件P(1)成立时，系统(9)的两个非平凡解中，r51)=2+1v2互是稳定的，而r52)=2__1v2．}是不稳定的．当条件P(2)成立时，若n>0，则系统(9)唯一的非平凡解为r3¨，此解是稳定的；若n<0，则系统(9)唯一的非平凡解为r，此解是不稳定的．于是得到如下结论：定理3．1若

7、系统(2)的参数>0，且=(二)(￡)，叩=(二)(￡)，那么当￡充分小时系统(2)存在二阶次调和解．且当条件P(1)成立时，系统(2)存在两个次调和解，其中一个为稳定的，一个为不稳定的．当条件P(2)成立时，若a>0，则系统(2)存在唯一的稳定的次调和解；若a<0，则系统f2)存在唯一的不稳定的次调和解．244纯粹数学与应用数学第3O卷参考文献[1]RosenblatS，CohenDSPeriodicallyperturbedbifurcation．I．Simplebifurcation[J]_Stud．App1．Math1980，63：1—2

8、3．[2】RosenblatS，CohenDSPeriodicallyperturbedbifurcation．II．Hopfbifur