一类大熊猫_竹子三种群系统的Hopf分支

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1、1997年9月四川师范大学学报(自然科学版)Vol.20.No.5第20卷第5期JournalofSichuanNormalUniversity(NaturalScience)Sept.,1997一类大熊猫-竹子三种群系统的Hopf分支*吴云华(四川成都石室中学成都610041)摘要本文考虑由种群生态学引起的一类大熊猫和两种竹子三种群生态数学模型.利用中心流形定理及Hopf分支理论讨论并证明了该系统的分支现象,给出了中心流形的表达式及小振幅空间周期解的稳定性.关键词中心流形,Hopf分支,周期解中图法分类号34C250引言本文讨论一类具偏食习惯的捕食者(大熊猫)与食

2、饵(冷剑竹、拐棍竹)的三维生态数学模型.模型(1)是从[1,2]的基础上发展而来.该系统为:ax=x(a-Kx-Az),aBzy=y(b-),1+x(1)ak(z+c)z=z(r-),x+y+z+c其中x、y、z分别表示冷剑竹、拐棍竹和大熊猫的种群密度,a、b、r分别为其自然增长率,A、B为大熊猫取食的捕食率,K为冷剑竹的密度制约系数,k、c联系着大熊猫种群的增长速度,根据生态意义及生物种群的非负性,要求所有参数均正数,k>r且x≥0,y≥0,z≥0.[1]讨论了二维系统的稳定性及轨线结构,[2]讨论了(1)当K=0时的分支.本文先对(1)作定性分析,得到奇点的类型

3、及稳定性结论,然后用中心流形、分支理论研究其分支现象.证明了(1)在一定条件下存在Hopf分支,并给出中心流形的表达式及小振幅周期解的稳定性结论.这些结论对于分析预测大熊猫及其在自然生存环境中的发展趋势有着重要意义.1奇点的稳定性系统(1)等价于a1x=Ax(k1-x-z),d1az(2)y=By(k2-),1+xaz=rz[x+y-k3(z+c)]/(x+y+z+c),收稿日期1997-03-19吴云华男31岁助理研究员*曾在中国科学院成都计算机应用研究所数理中心工作28四川师范大学学报(自然科学版)20卷abkk1A3Def其中,k1=,k2=,k3=-1,k4

4、=-1,d1=,s1=k1õd1.为方便计,规定R+0ABrk2KDef3{(x,y,z)ûx≥0,y≥0,z≥0},R+{(x,y,z)ûx>0,y>0,z>0}.3在R+0内,s1>k3c以及满足引理1条件时(2)有五个有限奇点:O(0,0,0),S(s1,0,0),Q(0,k3(k2+c),k2),P(p1,0,p3),M(x1,y1,z1)其中s1-k3cp3=,p1=k3(p3+c),k3+d11x1=(k1-k2)/(k2+),z1=k2(1+x1),y1=k3(z1+c)-x1.A1p3定义若参数适合条件1)k1>k2,2)k2>则称此为QP条件.1+

5、p13引理1若(2)满足QP条件,则奇点M∈R+.为了讨论奇点的性态,首先计算(1)的变分阵a-2Kx-Az0-AxByzBzByJ(x,y,z)=2b--,(3)(1+x)1+x1+xJ31J32J33kz(z+c)k(z+c)kz(x+y)其中J31=J32=2,J33=r--2.将各奇(x+y+z+c)x+y+z+c(x+y+z+c)点的坐标代入(3),分别求出相应变分阵的特征根,从而确定奇点的类型及其稳定性.由[3]有+-引理21)奇点O、S为OHO型不稳定广义鞍点;2)若QP条件成立,则奇点Q、P为+-p3+OHO型不稳定广义鞍点;3)若k1

6、成立,则奇点Q、P为渐近稳定的O型1+p1吸引子.2Hopf分支的存在性-K10-A13由引理1知M∈R+,相应的变分阵记为J=b1z00-b1,其中K1=Kx1,A1=Ax1,b4b4-b4k3z1By1kz1rz1z0=.b1=,b2=2,b3=x1+y1+z1+c,b4=.1+x11+x1b3b3令x=N+x1,y=G+y1,x=F+z1,于是(1)化为aX=JX+H,(4)TT这里X=(N,G,F),H=(-G,E,-b4F).2b1BG=KF+ANF,E=(G-N)(z0N-F)õ,B1+x1+NrF=(N+G-k3F)õ[N+G+(1-)F]/(N+G+

7、F+b3).b4再计算J的特征根,由det(A-LI)=0得32U(L)=L+a1L+a2L+a3=0,(5)其中a1=K1+b4k3,a2=K1b4k3+b4(A1+b1),a3=b1b4(K1+A1z0).第5期吴云华:一类大熊猫-竹子三种群系统的Hopf分支29f=a3-a1a2.显然ai(i=1,2,3)>0,如果f>0,则(5)有一对正实部的复根和一个负实部的实根,此时奇点为不稳定的;如果f<0,则(5)的所有根具有负实部,这时奇点为稳定的.现考虑临界条件f=a3-a1a2=0,(6)由此得临界情形2U(L)=(L+a1)(L+a2).(7)系统(1)