一类双时滞综合国力模型的hopf分支分析

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1、2013年3月伊犁师范学院学报（自然科学版）Mar.2013第1期梁霄，翟延慧：一类双时滞综合国力模型的Hopf分支分析11第7卷第1期JournalofYiliNormalUniversity（NaturalScienceEdition）Vol.7No.1一类双时滞综合国力模型的Hopf分支分析梁霄，翟延慧（天津工业大学理学院，天津300387）摘要：对具有两个时滞的综合国力模型，通过分析线性方程对应的超越特征方程根的分布情况，运用Nyquist准则，研究平衡点的稳定性和局部Hopf分支性质，

2、得到平衡点稳定的充分条件及产生Hopf分支的条件，并给出了模型的解释.关键词：微分方程；动力系统；综合国力模型；时滞；平衡点；稳定性；Hopf分支中图分类号：O193文献标识码：A文章编号：1673—999X（2013）01—0011—060引言对科学技术当中的一些重要问题建立微分方程模型，是数学应用的传统领域.使用微分方程的解法和理论，对问题进行定量的分析和解答，既被运用在物理学、生物学、天文学等自然科学研究中，也被应用到政治、军事、人口、资源等社会科学的研究.实践证明，微分方程模型对于社会科

3、学中问题的解决也是有效的数学手段.本文即来研究一类社会科学数学模型.一个国家物质文明与精神文明综合而成的综合国力，其水平与走向决定该国之兴衰，定量研究综合国力可以为一国的政策制定提供重要依据，是当今重大的科研课题.1981年，乔治敦大学战略与国际研究中心主任、美国中央情报局前副局长克莱因教授给出综合国力公式P(CEMSW)()（0.1）p其中：P是综合国力，C是基本实体，E是经济实力，M是军事实力，S是战略意图，W是贯彻国家战p略的意志.此后，该模型得到了重视和发展，但这些研究大都只对

4、已有国力进行度量，未考虑时间因素引起的发展与变化，无预报功能.[1]1988年，黄朔风引入了国力变化的Logistic方程dyyy(1)（0.2）dtM其中y是国力函数.据此，文献[2]建立了一个二次微分系统dxMxx()ydtM（0.3）dyymx()xdt其中：x()t为硬国力函数，代表某国的物质文明水平，x()t越大代表物质文明越繁荣；yt()为软国力函数，代表精神文明水平，yt()0时对应社会丑恶现象，yt()0对应软国力优越；,,,,

5、mM皆为正常数，收稿日期：2012—11—15作者简介：梁霄（1983—），男，河北张家口人，硕士研究生，研究方向：动力系统与金融数学.12伊犁师范学院学报（自然科学版）2013年mM.MxMx在这个模型中，x()代表现有文明x和发展潜力对物质文明发展的影响；y表示社会MM丑恶对物质文明的阻滞；y表示社会对丑恶现象的抵制与治理力度；()mxx表示物质文明对社会丑恶的反作用.本文即在系统（0.3）的基础上进行改进与研究.1模型的建立系统（0.3）考虑了没有时滞作用的前提下，软国

6、力与硬国力相互作用的二次微分系统.然而在现实世界中，软国力与硬国力之间的作用与反作用是具有时滞的.不仅软国力的变化需要一段时间才能影响到硬国力，而且硬国力的增加对于社会文化的提升和国民的精神风貌的作用也不是一蹴而就的.这样，就产生了下面的双时滞综合国力模型dxMxxy()()t1dtM（1.1）dyy[()mxt]xt()22dt根据文献[3]的方法将系统（1.1）无量纲化，可以改为duau(1u)vt()1dt（1.2）dv

7、bvc(()ut)ut()22dtxyMm其中：u，v，a，b，c，，t，为方便仍将记为t.MMM系统（1.2）就是我们所要讨论的具有双时滞的综合国力模型.2系统（1.2）的平衡点稳定性与Hopf分支的存在性根据文献[3]，系统（1.2）的平衡点为E=(0,0),1ab---cmmmabcabcEa=-(,()(1)).2ab---cabcabc系统在两个平衡点的线性近似系统分别为duaut()vt()1dt（2.1）dv

8、cut()(bvt)2dt以及duabcaut()(12)vt()1dtabc（2.2）dvcu(2abc)()(tbvt)2dtabc首先考虑系统（2.1）.tt令u(t)e,v(t)e为系统（2.1）的解，代入得[(aee)1]t0（2.3）[(ce2b)]et0由此得到关于,的齐次线性方程组第1期梁霄，翟延慧：一类双时滞综合国力模型的Hopf分支分析13