一类具时滞的造血模型的稳定性与分支分析

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1、哈尔滨工业大学理学硕士学位论文第1章绪论1.1课题背景及文献综述数学模型作为一种重要的生态学研究方法，在解释生态现象，描述生态系统物质、能量、信息、价值流向等生态变化过程，揭示生态系统内在规律，预测生态变化趋势，定向调控可管理生态系统，优化管理生态经济系统等许许多多问题中，都发挥了或正在发挥着巨大的作用，数学模型不仅是对生态系统进行定性分析和定量研究的理论基础之一，而且是解决生态学实际问题，优化管理农、林、牧、渔业生态系统，提高生态经济效益的技术手段之一。用微分方程建立各种生物模型在20世纪50年代曾获得轰动性成果：1952年描述神经脉冲传导过程的数学模

2、型——Hodgkin-Huxley方程和1958年描述视觉系统侧抑制作用的Hartline-Ratliff方程，它们都是复杂的非线性微分方程组，引起了数学家和生物学家的浓厚兴趣。这两项工作分别获得了1963年度和1967年度Nobel医学生理学奖。时滞微分方程在控制理论已经应用了很多年。除了理想的情形以外，动力系统总是存在滞后现象的，即使质点间力的传递或者以光速传递的信息也是如此。在自动控制的装置中，从输入信号到收到反馈信号，也必然相差一段时间，因此，用传统的微分方程去描述系统的状态只是一种近似，必须符合精度的要求才行，否则将导致错误。对于时滞微分方程的

3、研究已有大量的专著出现，如[1][2][3]等等，但近几年时滞微分方程才被应用在生物模型中。大多数生物系统都具固有的时滞，但是由于系统的复杂性，很少有人把方程应用于此。时滞微分方程对实际的现象提供了基本的数学模型，非线性时滞微分方程在物理学，生物学和人口系统中应用更广。在时滞微分方程分支问题的研究中，Hopf分支是一种常见而且重要的分支现象。所谓一个系统产生Hopf分支，即当该系统的奇点的稳定性发生翻转，从而在奇点附近产生闭轨的现象。对于有限时滞泛函微分方程来说，与常微分方程的Hopf分支定理相平行的结果最先由Chow和Mallet-Paret[4]于-

4、1-哈尔滨工业大学理学硕士学位论文1974年在Brown大学的一本教程中给出，后来，Hale对该定理用不同的方法给出证明，与相应的常微分方程的Hopf分支定理相平行。文献[5]给出了分析泛函微分方程的Hopf分支性质的另一种方法，这种方法建立在抽象的常微分方程的中心流形理论的框架基础上。而关于造血作用，年龄结构模型为其研究提供了一种方法[6~11]。生理学系统的无规律性使得一些血液疾病表现为细胞数量的不稳定，如循环嗜中性白血球减少症，循环血小板减少症等。人们很久之前就怀疑周期性造血疾病是由控制血细胞数量的回馈机制不正常引起的[12~19]。Mahaffy

5、的造血模型就是描述老化细胞的自然死亡和细胞重大程序性死亡的可能性。成熟细胞自动减少和人口系统的研究相似。当红血球穿过毛细管时，细胞膜被破坏，从而使红血球老化[20]。因为红血球没有细胞核来生成蛋白质以修复细胞膜，所以细胞膜逐渐丧失柔韧性且不能再有效的向组织输送氧气。免疫系统能识别出这种细胞膜的破坏并用特殊标签标记这些细胞膜，然后这些标签发信号给巨噬细胞或白血球，让他们在一段时间后自动清除或吞噬这些老化的红血球。在生态系统中，许多种群中的衰老个体被捕食者自动清除，但是捕食者具有有限的胃口和满足感，因此，例如，野兔数量过多并不会引起山猫的肥胖，而是山猫种群能

6、对摄入的能量进行自我控制。对红血球来说，若假设标签是有限的或巨噬细胞数量是固定的，则老化红血球死亡数量是固定的。凋亡[21~24]是细胞的程序性死亡，是由细胞的基因码决定的。例如，在红血球形成过程中，很多红系造血祖细胞当接到杀死细胞的命令时就开始了它们的增殖阶段，直到这个信号被足够多的细胞膜的Epo阻断[25]。这种死亡一般发生在细胞进入分裂的下一阶段，以对细胞数量形成控制，使得生物体不能产生过多的红血球。Mahaffy和Bélairetal在以前的模型的基础上对红血球建立了凋亡和老化细胞自然死亡的模型。先驱细胞由一些红系造血祖细胞开始，这些祖细胞能够分

7、化成自我支持种群并最终产生成熟红血球。在某一点，红系造血祖细胞进一步分化并开始增殖最终产生红血球。在增殖的早期阶段，荷尔蒙Epo和其他荷尔蒙一起，影响着能变成红血球的红系造血祖细胞的数量，但这种机制的完整细节还不-2-哈尔滨工业大学理学硕士学位论文知道。提高Epo的浓度可以提高变成红血球的红系造血祖细胞的数量。然而，红系造血祖细胞的数量是固定的，只有有足够Epo的细胞才能在从增殖到成熟过程中存活。这与实验发现吻合，即Epo能控制凋亡，可通过阻断细胞程序性死亡来控制细胞成熟的数量[23][25]。当先驱细胞通过了CFU-E阶段，他们主要通过提高运输血色素的

8、能力来完成成熟过程。这些细胞成熟过程中没有凋亡，当他们变成网状细胞-骨髓中的最后