具时滞综合国力模型的Hopf分支分析

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1、2007年9月伊犁师范学院学报（自然科学版）Sept.2007第3期邢秀梅：具时滞综合国力模型的Hopf分支分析1第3期JournalofYiliNormalUniversity（NaturalScienceEdition）No.3具时滞综合国力模型的Hopf分支分析邢秀梅（伊犁师范学院数学系，新疆伊宁835000）摘要：以常微分方程知识为工具，建立数学模型，研究一个国家的综合国力的总体情况，是近年来才开始的一项研究工作.对此模型进行了细致的分析，首先介绍引入时滞的原因，其次给出了存在局部Hopf分支的一组条件，进一步给出了平衡点的稳定性，最后给出了模型一些结论的实际解释.关键词：综合国力模

2、型；时滞；稳定；指数多项式；分支中图分类号：O29文献标识码：A文章编号：1673—999X（2007）03—0001—041引言1997年，文献[1]在不考虑时滞作用的前提下，用一个二次微分系统建立了一个描述综合国力发展的动力学模型.令XXt=()表示t时刻的硬国力函数，即某国的物质文明（资源、经济、军事、科技等）水平的一个综合指标，Xt()越大，物质文明越繁荣.Xt()=X是正常数，表示Xt()的警戒线.Xt()M≤+X，00M+X表示Xt()的最大值.令yyt=()表示t时刻的软国力函数，即某国的精神文明水平（内政、外交政0策的失误与正确等问题）.当yt()0<时，表示软国力优越（决策

3、英明、国民素质高等）.这时，软国力对社会的发展有促进作用.令x()tXtX=−()，则−Xx≤≤()Mt，于是综合国力的发展可用常微分方程组表00示为：⎧dMxx−=−αβxy()⎪⎪dMt⎨（1.1）⎪dy=−γδym+（）−xx⎪⎩dtdxM−xM−x物质文明的发展速度与现有文明水准x()t及发展潜力的份额成正比，于是有αx这一dtMM项，α称为增长系数.−βy表示社会丑恶现象对物质文明发展的阻滞，β称为丑恶系数.−γy表示人民与αγ政府对丑恶现象的抵制与治理力度，它与现存丑恶现象的多寡成正比，γ称为丑恶系数.令a=，b=，ββδMmc=，µ=.文献[1]关于（1.1）的主要结果如下：β

4、M1.ab≤时，方程（1.1）无闭轨.2.ab≤时，(0,0)是稳定的，ab>时，(0,0)是不稳定的.众所周知，软国力对硬国力的作用或影响是有时滞作用的.即软国力的某些变化需在一定的时间内才收稿日期：2007—03—10作者简介：邢秀梅，女，硕士，伊犁师范学院数学系讲师.2伊犁师范学院学报（自然科学版）2007年能在硬国力上显现出来.这样有必要考虑下面的时滞综合国力模型：⎧dMxx−=αβxy（）-(t-r)⎪⎪dMt⎨（1.2）⎪dy=−γδym+（-）xx⎪⎩dt其中r>0表示时滞，其余符号与(1.1)相同，本文主要研究系统(1.2)的局部动力学行为.2Hopf分支的存在性x()tyt

5、()αγδMm在系统（1.2）中令ut()=，vt()=，a=，b=，c=，µ=，τ=βt，则(1.2)变成MMβββM⎧du=−−−au(1u)v(τr)⎪⎪dτ⎨（2.1）⎪dv=−+bvc()µ−uu⎪⎩dτ⎧du=−−−au(1u)vt(r)⎪⎪dt仍把τ写成t得：⎨（2.2）⎪dv=−bvt()+c(µ−utut())()⎪⎩dt2()αγ+下面总假定

6、cabc次近似系统分别为：⎧du=−−aut()vt(r)⎪⎪dt⎨（2.3）⎪dv=−bvt()+cutµ()⎪⎩dt⎧duab−cµ=−aut()(12)−vt(−r)⎪⎪dtab−c⎨（2.4）⎪dva=−bvt()+c(µ−2b−cµ)()ut⎪⎩dtab−c方程组(2.3),(2.4)的特征方程分别为：2−λrλλµ+−−+()baabce=0(2.5)2abc−−µabcµµabc−−λrλλµ+−−[(ba12)](−−ab12)(2+−c)0e=(2.6)abc−−abcabc−通过分析特征方程(2.5)，可得下述引理和定理：+引理2.1当r取某些r时，方程(2.5)有一对纯

7、虚根λ=±iω，其中j+2112222222+1−+abω+ωµ=−()()ab++ab−−4c，rj=+arccos2π，j=0,1,?+j22ωµc++drRe(λ)j引理2.2方程(2.5)的特征根满足>0.dr第3期邢秀梅：具时滞综合国力模型的Hopf分支分析3由上述两引理可得出：+定理2.1当r=r时，从平衡点E可产生分支.j1通过分析特征方程(2.6)，可得下述引理和定理：222+引理2.3当ab