几类具时滞生物模型稳定性和分支分析

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1、国内图书分类号：O193学校代码：10213国际图书分类号：517.9密级：公开理学博士学位论文几类具时滞生物模型的稳定性和分支分析博士研究生：舒洪英导师：李毅教授副导师：魏俊杰教授申请学位：理学博士学科：基础数学所在单位：理学院数学系答辩日期：2010年12月授予学位单位：哈尔滨工业大学ClassifiedIndex:O193U.D.C.:517.9DissertationfortheDoctoralDegreeinScienceSTABILITYANDBIFURCATIONANALYSISONSEVERALTYPESOFDELAYEDBIOLOGICALMODELSC

2、andidate:HongyingShuSupervisor:ProfessorMichaelY.LiCoSupervisor:ProfessorJunjieWeiAcademicDegreeAppliedfor:DoctorofScienceSpecialty:FundamentalMathematicsAffiliation:DepartmentofMathematicsDateofDefence:December,2010Degree-Conferring-Institution:HarbinInstituteofTechnology摘要摘要随着生物数学的发展，时滞

3、微分方程被广泛地应用于生物模型中，人们用它来描述既依赖于当前状态，又依赖于历史状态的动力系统。系统的稳定性和周期解的存在性日益成为具有重要意义的研究课题之一。其中，稳定性体现了一种结构的平衡。周期解的存在反映了自然界的周期运动规律。分支问题是时滞微分方程研究领域中的另一个重要课题，其研究对象是结构不稳定系统。结构不稳定是指当参数变化并经过某些临界值时，系统的某些结构属性发生本质的变化。时滞微分方程的研究既要用到经典的动力系统理论，又涉及到拓扑、代数、泛函等相关知识，它有着重要的理论意义和实际意义。本文综合运用LaSalle不变性原理、Lyapunov稳定性理论、中心流形

4、定理、规范型以及数值模拟等理论和方法，对几类具时滞生物模型进行了系统的研究，主要工作如下：(一)研究了具时滞的宿主体内病毒模型的动力学行为。首先，讨论了一类具有限时滞的宿主体内病毒模型的全局动力学行为。通过构造全局Lyapunov泛函并结合LaSalle不变性原理，证明了该系统的全局动力学行为完全由基本再生数决定。其次，我们研究了一类具一般形式的细胞增长函数、感染发生率函数和无限分布时滞的宿主体内病毒模型的全局动力学行为，并给出了系统的全局动力学行为完全由基本再生数决定的充分条件。通过对该模型的分析，得到宿主体内病毒模型的Hopf分支的发生不是由细胞内的时滞引起的，而是

5、由细胞增长函数的动力学性质导致的。这个结果是最新的。最后，我们进一步研究了Logistic增长率r和细胞内时滞τ对宿主体内病毒模型的动力学行为的影响，选取r和τ作为分支参数，通过两个参数的分支分析，得到了在二维参数平面上的全局Hopf分支的性质。此结果第一次揭示了在病毒感染过程中细胞增长函数的动力学性质的重要性，仅当系统具有恰当的细胞增长函数时，细胞内时滞才能引起稳定的周期震荡现象。(二)研究了一类具无限分布时滞和非线性传染的多种群SEIR传染病模型的全局动力学行为。通过构造全局Lyapunov泛函并结合图论的方法，证明了该系统阈值定理成立，即基本再生数R0的大小完全决

6、定了系统的全局动力学性质。(三)研究了宿主体内具有时滞的CTL免疫反应的T淋巴细胞白血病病毒感染模型的动力学行为。首先，证明了该模型的全局动力学行为完全由两个阈值I哈尔滨工业大学理学博士学位论文(病毒感染的基本再生数R0和CTL免疫反应的的基本再生数R1)决定。其次，给出了正平衡点的稳定性和Hopf分支存在性条件，并分析了Hopf分支的性质。最后，讨论了CTL免疫反应的滞后行为能够导致系统产生多个稳定的周期解共存的现象，这些周期解的振幅和周期各不相同，分别有各自的吸引域。这是一个最新结果，它揭示了CTL免疫反应和HTLV-I病毒感染在宿主体内非常复杂的动态行为。当系统受

7、到扰动时，多个稳定的周期解的共存揭示了系统的解从一个稳定的周期解的吸引域切换到另一个稳定的周期解的吸引域的现象。关键词：时滞微分方程；全局稳定性；Lyapunov泛函；周期解；Hopf分支IIAbstractAbstractWiththedevelopmentofmathematicalbiology,delaydifferentialequationshavebeenwidelyemployedtodescribedynamicsystemsthatdependonnotonlythecurrentstates,butalsothehi