一类带收获和时滞的生态经济模型的稳定性和Hopf分支

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1、数学杂志Vo1．33(2013)J．ofMath．(PRC)NO．3一类带收获和时滞的生态经济模型的稳定性和Hopf分支李华刚，钱靖，李必文，陈伯山(湖北师范学院数学与统计学院，湖北黄石435002)摘要：本文研究了一类用微分代数系统定义描述的带时滞和HollingII型功能反映的生态经济模型的稳定性和Hopf分支问题．利用了一种新的微分代数系统参数化方法，以时滞为分支参数，获得了上述微分代数生态经济系统稳定性的相关条件判据和Hopf分支的产生条件，推广了一般微分系统模型的结论．关键词：收获；时滞；捕食者一食饵模型；稳定性；Hopf分支MR(2010)主题分类号：34C

2、25；34K15中图分类号：O175．13文献标识码：A文章编号：0255—7797(2013)03．0511—081引言种群生态学是生态学中的一个重要分支，与人们的生产和生活密不可分．人们对种群生态学的研究，主要有以下两个方面：一方面对种群的发展变化要有定量的分析和预测；另一方面就是建立种群系统，然后对系统进行定性的分析和判断．例如：在具有收获率的种群系统的研究中，我们可以判断出付出多大的捕获量，既可以维持生态系统的平衡，又能使收获量达到最大，以满足人们的需求，从而在市场经济中获得最大的收益．因此对具有收获的捕食者，食饵系统进行研究，对生物资源进行合理的开发和利用，都

3、具有实际的指导作用，在经济学和生物学中都具有现实的重要意义，目前对此类问题的研究已经取得了一些较好的结果[1-3]．据了解，目前关于微分代数的捕食者一食饵系统研究的较少，时滞的微分代数系统就更不多见．时滞可以将种群的平衡位置由稳定的变成不稳定的，由于时滞的作用可能出现非平凡周期解，即产生Hopf分支[4-5】．文献f61研究了如下捕食者一食饵模型x⋯(t)(rl-ax(t)燕)，(1．1)，其中(￡)，y(t)分别代表食饵种群和捕食者在t时刻的密度，r1为食饵的内禀增长率，r2为捕食者的死亡率，7-表示捕食者从幼年到成年的成熟时间，口为食饵密度的制约函数，日为对食饵种群

4、的常数收获率．1954年，Gordon[]从经济学的角度，研究了收获的量对生态系统的影响，提出了NER(经济净收益)=TR(总收益)一TC(总成本)的经济理论．根据这一理论，许多学者将一些纯生收稿日期：2011．05—07接收日期：2011．12．26基金项目：湖北省自然科学基金资助项目(2007ABA124)；湖北省教育厅重大项目(Z200622002)；青年科研基金项目fQ200722001)．作者简介：李华刚(1979一)，男，湖北黄冈，硕士，主要研究方向是动力系统与控制论．No．3李华刚等：一类带收获和时滞的生态经济模型的稳定性和Hopf分支513则有Dyg(Y

5、o)Q=(0，0，pxo—c)，=，Y，E舞+E，那么上面的系统(1．2)等价)一HpEo㈤，一z)，(2．2)【()一面p。E—ocu(t))(pu(c)一l0．础㈤-au(t)一)_(一pEo㈤，1一t砌：二一。(Ⅳ)=(()一pEo())()一c)一=o．【u，V，】T=()=Ⅳ+Uo2+Voh(2)，G(((t)))：0，：(：)，=(；)，Z=(yl(t)，Y2(t))T，No：(U0，0，l0)，((t))=(hi(y1，Y2)，h2(yl，Y2)，h3(Yl，2))，h：R一=昭(())．(2．3)根据上面的定义和参数化系统(2．3)式，我们可以得到系统(

6、2．2)参数系统的线性部分矩Ec=DNFI(No)][。ⅣO(No]l：；l=[：囊；暑：磊；]『7’1—20u。一(1+alvo。)：一Eo+一再a~ucj1一【．薪ea2uoe一。J。j@()=_a2叫alvo+pEouo)_aluo(2．4)丽2vo下)+而a2uo2(t-丁)-r2Y2(一514数学杂志(i)如果>。，且。<0，百A<<(r1一口札。)(p。一c)，那么系统(1．2)的正平衡点是不稳定的，其中=一r+2auo+丁rl干-auo，B：m二u

7、oc+puol十m札nIp_¨n—c){i十m{l上n)=。：_Fr『2i．，证易得(2．4)式的特征方程为+(A—r2e一+r2一B)+(A—)(一I厂2e一)、+厂2)+(C—D)e～=0．(2．5)当丁=0时，(2．5)式可以化为。+(A—B)+(C—D)=0，由于B>0，且c—D>0，显然，当满足A>0和0<0并且鲁<<(r1一auo)(puo～c)时，(2．5)式的两个根有正实部，表明系统(1．