具有HollingⅡ功能反应函数捕食系统的Hopf分支.pdf

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1、第23卷第3期广东石油化工学院学报v01．23No．32013年6月JournalofGuan~ongUniversityofPetrochemicalTechnologyJun．2Ol3具有Holling11功能反应函数捕食系统的Hopf分支石明奎(通渭县第三中学，甘肃通渭743300)摘要：主要应用微分方程定性理论与分支方法探讨了一类具有no~g1I功能函数捕食系统的平衡点与Ho分支。首先通过相关定性理论对系统奇点性态进行了分析讨论，然后利用Hopf分支理论给出了系统极限环的存在性、唯一性及稳定性的条件。关键词：捕食系统；平衡点；极限~；Hopf分支中图分类号：0175文献标识码：A文

2、章编号：2095—2562(加13)o3—0075—04{yx，'：=xyg((一xd)-+ypv((x))’(1)其中，、Y分别表示食饵和捕食者的种群密度，d>0表示捕食者的死亡率，g()为食饵种群的内禀增长率，p()为捕食者的功能反应函数．文献[1]考虑了g()=r(1一云)，p()=a+x时的情形．最近，赵延忠和胡萍等分别讨论了两类两种群捕食者一食饵扩散模型的正平衡点的局部渐近稳定性和全局渐近稳定性．本文将考虑具有HouⅡ功能反应函数p()=捕食系统的定性变化，并给出相应的数值模拟相图，即对如下模型f【=l一_口c+xy(2)Y=，，(一d+)作变换：dt：(a+)dr，变换后仍以t

3、表示r，则(2)化为1-x)(a+x)-cxyL(3)Y=Y(一一n畸+(c—d)⋯其中，a为参数，r，c为任意正常数且分别表示食饵的内禀增长率、捕获率，d>0表示捕食者的死亡率．由生态意义，仅在D(x，Y)={(，Y)I≥O，，，≥O}上进行讨论．1系统(3)的平衡点分析解方程组f【(1，一，)(一～(4)一(c—d)xy=0显然方程组(4)在区域D(，)，)={(，y)I≥0，Y≥O}上有平衡点o(o，O)和E(，Y)，其中='y*：(1_)．收稿日期：2013一Ol一20；修回日期：2013—03—29作者简介：石明奎(1985一)，男，甘肃通渭人，硕士，主要研究方向为算法分析与软件

4、设计。76广东石油化工学院学报2013年定理2①D为鞍点；②取口。=，则当口>口。时，E为稳定的焦点或结点；③当口<口。时，E2—2arx-3rx～=】m(一J(O,O=】一_，(’y⋯)fl。翠(c-d一。cadd]J这里，记p=一(c-d一口)，g=旦三并且取=c-d，，则当a>ao时，p+d2系统(3)的H0lpf分支根据以上讨论，当口：口。时，系统在正平衡点E处有纯虚特征根m(ao)=±(n。)，由Hopf~证明：由第二部分易知，，()：1ID(口。)：一<0，满足横截性条件，因此系统(3)会发二C一口，算出平衡点处的第一Lyapunov系数，并验证其是否满足非退化性条件引。当口口

5、。时，正平衡点E。对应的坐标为。d，yo南，作平移变换iy：+，变换后仍以x,y表示二，，从而系统(3)可化为f一一一一暑F，·l(，)，=AX+专曰(，X1)+-~c(x，Xl，x2)舯⋯：f【．-。：。第3期石明奎：具有HollinglI功能反应函数捕食系统的Hopf分支77[一案-c⋯(xy~+xly．取矩阵A的特征向量p=【一c+d】，q=【】，使其满足=l，其中一+d)c2(c-d)：=~frd，应用文献[4]的结果，有：、，g20==(c一d一rd)+(C+d)g=，g2l==一3red根据第一Lyapu

6、nov系数公式]，可得l(ao)=R~(／g删g+cog：，)一<0易知其满足非退化性条件。因此，当a口。时，所有轨道收敛于E，如图1所示。当a<口。时，正平衡点失去其稳定性而发生Hopf分支，且在

7、正平衡点的外围存在唯一稳定的极限环，如图2所示。y，Y)=(O．45，1．25)时系统(3)的相图O．450．4O．35Y)=(O．45，1．2)时系统(2)的相图78广东石油化工学院学报2013年‘【参考文献[1]XiaoD，RuanS．Globalanalysisinapredator-preysystemwithnonmonotonigfunctionalrespor~[J]．SIAMJ．App1．Math．，20