一类随机时滞微分方程的均方指数稳定性-论文.pdf

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1、第13卷第4期潍坊学院学报V01．13No．42013年8月JournalofWeifangUniversityAug．2013一类随机时滞微分方程的均方指数稳定性。张伟伟(iS坊学院，山东潍坊261061)摘要：研究了一类随机时滞微分方程的均方指数稳定性问题。利用Gronwall引理，不等式技巧和随机分析的知识，给出了在均方意义下系统均方指数稳定的代数判据。关键词：随机微分方程；时滞；Gronwall引理；均方指数稳定中图分类号：0152文献标识码：A文章编号：1671—4288(2013)04一0072一03自五十多年前Ito创立Ito随

2、机积分以来，随机微分方程的研究吸引了广大学者的关注‘卜5l。伴随着航空理论和化学工程系统的迅速发展，在系统建模过程中有时需要考虑随机和时滞因素的影响，因此引入了一类随机泛函微分方程，与确定性系统相比，随机系统的研究成果相对较少。随后，毛学荣、廖晓昕等利用Lyapunov泛函和Razumikhin技巧展开了随机泛函微分方程指数稳定性的研究，得出了一些有意义的结果[1-3]。本文利用常数变易公式和Gronwall引理对一类随机时滞微分方程的均方指数稳定性进行了分析，给出了易于判定此类方程均方指数稳定的新判据。1预备知识考虑如下随机时滞微分方程fd

3、x(t)=f(x(t)，X(t--r)，t)dt+g(x(t)，x(t--r)'t)dw(t)⋯1x(to+s)一甲(s)，sE[一r，o]其中，w(t)是定义在完备滤子概率空间(0，F，{F。)。≥。，P)上的in维维纳过程，fEC[R“×R“×R，R“]，96CIn“×R“×R，R舣“]，x(t)一(x1(t)，x2(t)，⋯，x。(t))T，g(gi)。。。，并且F(O，0，t)一o，g(0，0，t)=0。初始条件,0Ec[[一r，o]，R“]，满足II中l

4、2一supEIqo(t)I2<+。。。作如下假设：(H1)对Vx，yER“，存

5、在常数gi，6i>o，i=1，2，⋯，n，使得旧(x，Y，t)l≤∈iXil+8iYi1。(H2)对Vx，yER“，存在非负矩阵C=(ci)。。。，D=(dji)。。。，使得下式成立gIj(x，y，t)I≤CqxjI+dijYJI，i=1，2，⋯，12，j一1，2，⋯，121，t≥to。由文献Eli知，满足假设条件(H1)，(H2)的系统(1)在t≥t。一r上存在全局唯一的连续解。对任意矩阵P，Q，定义17(P)一寺入～(P+PT)，

6、

7、Q

8、

9、=(入。。(QTQ))专。厶定义1如果存在常数K>O和X>O，使得EJ

10、x(t)1J2≤Kel“10

11、’，t≥t。，则称系统(1)的解是均方指数稳定的。引理1‘63设u(t)，v(t)，p(t)分别是定义在a，b]上的实函数，其中u(t)非负并且在[a，b]上Lebesgue可积，p(t)在[a，b]上连续，而v(t)在[a，b]上绝对连续，若它们满足rtp(t)≤v(t)+Iu(s)p(s)ds，a≤t≤bJa则当[a，b]时，*收稿日期：2013—01—16作者简介：张伟伟(1986一)，女，山东济宁人，潍坊学院学与信息科学学院讲师。研究向：动力系统与人工神经网络。一72—第4期张伟伟：一类随机时滞微分方程的均方指数稳定性P(t)≤V(a

12、)eI：u“M8+J。●a一tu如M1塞“o如。2主要结果定理1若条件(H1)，(H2)成立，且7(P)+iiQ

13、f

14、(t)一E瑶(t)+I2E(xi(s)￡(x(s)，x(s--r)，s))ds●t0ft“+I∑E(g日(x(s)，x(s--r)，s))2ds●torl利用Dini导数得，D+Ex2(t)=2E(xi(t)fi(x(t)，x(t--r)，0)-4-；蓍E(勖(x(t)，x(t--r)，t))2≤2E(Ixi(t)1(专ix·(t)l+占ix，(t--v)j))+j善E(c日lXj(t)I+dbxj(t—r)f)2≤2∈iElXi(t)I2+8iE(Ixi(t)l2十Ix,(t--r)I2)十j蚤[2c；EIxj(t)I2+2《EIXj(t-

15、-r)I2]2=(2ei+6i)E}Xi(t)I2+茂Elxi(t--r)l2+．蓍2c；EIxj(t)I2+2dgEI】【j(t—r)I令V(t)一(V1(t)，