一类三阶时滞微分方程解的渐近稳定性-论文.pdf

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1、广西民族大学学报(自然科学版)第2O卷第2期JoURNALoFGUANGXIUNIVERSITYF0RNATIONALITIESVO1．2ON0．22014年6月(NaturalScienceEdition)Jun．2014一类三阶时滞微分方程解的渐近稳定性陈静(广西民族大学理学院，广西南宁530006)摘要：通过定义一个Lya0unov泛函，研究如下三阶非线性时滞微分方程解的渐近稳定性：(f)+gl(z(￡)，z(￡))(￡)+g2(z(￡)，(￡))z(￡)+f(x(t—r(f))，32(￡一r(￡)))十h

2、(x(t—r(￡)))一0．得到的稳定性结果推广了CemilTune的研究结果．关键词：时滞微分方程；渐近稳定；Lya0unov泛函中图分类号：O175文献标识码：A文章编号：1673—8462(2014)02—0048—040引言在时滞微分方程理论和应用领域中，稳定性是非常重要的问题．至今研究时滞微分方程有效的方法还是Lyapunov直接法．对于三阶时滞微分方程解的稳定性研究也得到了很多很好的结果．2007年，Zhang和Si研究了形如(￡)+g(())()+厂((￡)，z(￡))+(z(f))一0的三阶非线性

3、时滞微分方程解的渐近稳定性．2010年，CemilTunc研究了形如()+g(sc(t)，(z))(￡)+f(x(t—r)，Z12(￡一r))+((一r))一p(t，z(￡)，z(￡)，x(t—r)，(f—r)，(￡))的三阶非线性时滞微分方程，得到了当P三0时它的零解渐近稳定的充分性准则．文中，笔者将研究如下三阶非线性时滞微分方程零解的渐近稳定性：,717(f)+g1((￡)，．2C(￡))(￡)+g2(()，．72(f))z(￡)+f(x(t—r(f))，(一r(f)))+h(x(t—r(￡)))一p(t，J

4、c(t)，z(￡)，x(t—r(￡))，z(一r())，(f))(1)显然，式(1)等价于系统：z()一(￡)，Y(￡)一z(￡)，(f)=：=一g1(()，())(￡)一g2(z(￡)，(￡))()一f(3c(t)，(￡))一h((f))+l((s)，(s))(s)ds+If(()，(s))z()ds+lh((s))．)．(s)ds—p(t，lz(f)，．y()，lz(一r(￡))，y(t—r())，(￡))(2)其中0r(￡)d，a为正常数，r，g，g，，h和P是连续函数，，(z，0)一(0)一o．导函数T．

5、t(r)一，g。(z，)一塑，g(z，)一塑(z，．)，)一，f(z，)一，h，()一dh存在且连续，．假设dZdZdzdZnz*收稿日期：2014-03—20．作者简介：陈静(1961一)，女，湖南茶陵人，广西民族大学理学院副教授，研究方向：微分方程．482014年第2期●陈静／一类三阶时滞微分方程解的渐近稳定性／(￡)≤卢，0<卢<1，f(x(t-r(t))，y(t-r(t)))，h(t-r(t))，gl(z(￡)，(f))和g2((￡)，(￡))关于z(￡)，(￡)，x(t—r(￡))，y(t—r())和2

6、(￡)满足Lipschitz条件，则方程的解具有唯一性．最后，假设所有的解都是实值．1预备知识考虑一般非自治时滞系统：(￡)一f(t，)，一(￡+)，一r0，t三三=0(3)其中，：R×Q—R全连续、充分光滑，并且方程(3)过任意初值(，)的解x(t，，)唯一，f(t，0)三0；对一切口∈R，∈Q，假设方程(3)过(，)的解x(t，口，)在[—r，+。。)上存在(r>0)，其中Q—C([一r，O]，R)，c([一r，0]，R)是[一r，0]上连续函数全体，简记之为C，在C中定义范数Il：supl()I．UtL-r

7、)uJ定义口记初始时刻为，ll—supl()I，l(￡)I取R”中的模，则对Vd∈R有：．1)若Ve>0，(e，)>0，使当Il<时，lx(t，，)l<￡，t，则方程(3)的零解称为稳定的．2)若jb。()>0，使当jlb。，t一。。时，有Jx(t，，)I一0，或者说“了b。(盯)>0，V￡>0，]T(a，e，)使当IIb。()时，Vt三三=+T(a，e，)，成立Ix(t，，)I<￡”，则方程(3)的零解称为吸引的．3)若零解是稳定的、吸引的，则方程(3)的零解称为渐近稳定的．考虑一般自治时滞微分系统：士(￡)一

8、f(x)(4)它是方程(3)的特殊情况．弓l理[4设，(O)一0，如果存在V()：C—R是连续泛函且满足Lipschitz条件．(0)一0，并且有：1)W(1(O)I)三三三V()W(II)，其中W(r)，W。(r)是楔函数．2W)()0，任给∈C，其中)()为关于方程(4)的全导数．则方程(4)的零解一致稳定．定义Z一{∈C：㈤()一O}，如果Z的最大不变集Q一{0}，