一类变系数时滞微分方程零解的稳定性-论文.pdf

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1、第32卷第4期佳木斯大学学报(自然科学版)Vo1．32No．42014年o7月JournalofJiamusiUniversity(NaturalScienceEdition)July2014文章编号：1008—1402(2014)04—0619-03一类变系数时滞微分方程零解的稳定性①刘彪，·温艳华(安徽大学数学科学学院。安徽合肥230601)摘要：利用拉什米辛判别法研究了一类变系数的时滞微分方程零解的稳定性，在较弱的条件下，得到了该方程零解稳定的充分条件，并给出两个例子说明定理的应用，数值模拟说明了所得结果的正确性．关键词：时滞微分方程；稳定性；变系数中图分类号：0175文献

2、标识码：A渐近稳定的．O引言及主要结果另一方面，当00，t>0(1)x(t)=一a(t)x(t)一b(t)x(t—r)，r>0，t≥0是很典型的时滞方程，其中口，b是常数．方程(5)(1)有多种方法判断其零解的稳定性．首先，如果的零解的稳定性，其中系数口(t)，b(t)

3、Ec[o，+特征方程a。)，利用李亚普诺夫函数方法(拉什米辛判别法)A+口+be一=0(2)的所有根都具有负实部，则方程(1)的零解是渐可知，当口(t)>lb(t)l时，方程(5)的零解=近稳定的．但由于方程(2)是超越方程，没有好的0是渐进稳定的．事实上，口(t)>Ib(t)I是方程方法判断其所有根是否都具有负实部，所以这种(5)零解稳定性的充分条件，不是必要条件．判断方具有应用上的局限性．其次，判断方程(1)零解稳定的方法是1预备知识Lyapunov函数方法(拉什米辛判别法)．定义1．1Lambert函数(t)是满足方对于时滞方程程’(t)=一bx(t—r)，r>0(3)(t

4、)e‘’=t(6)其特征方程为A+be=0(4)性质1．1Lambert函数(t)有以下性质：该Lambert一函数的解(1)满足，Ar=(1)在区间[0，+∞)上，(￡)≥0且单调增(一br)．即A：(一br)．由Lambert函数的性加；(2)在区间[一÷p，0)，W(t)<0[4．引．质知，当≤一br<0时，W(一br)<0，从而特征引理1．1考虑时滞微分方程根A=一1W(一br)<0，于是方程(3)零解=0是(t)=厂(t，。)，t≥0(7)①收稿日期：2014一o5—27基金项目：国家自然科学基金(11371027)，安徽省高等学校自然科学重点项目(KJ2011A020

5、)和安徽省自然科学基金(1208085MA13)．作者简介：刘彪，(1989一)，男，安徽阜阻人，安徽大学在读研究生．620佳木斯大学学报(自然科学版)2014年其中，(t，0)=0屁×C一批×(C中的=[一(a(t)+b(t)+Ia(t)Jb(t)qr有界集)映人中的有界集．如果存在一类函数+qb(t)r]x(t)(12)x‘(t)．a’x(t)．1／8x(t．4)，t>O，x=t，tdefinedon[-4，O]；slep=O0511,，t，∈K，函数∞：屁_÷连续和存在一个连续函数v：g×-+使得t∈艉，∈时成立～：：·：：；u(I1)≤(t，)≤(II)(8)n=1／16

6、【且存在一个连续非减函数p(s)>s，其中s>0，当条件V(t+，(0))≤p((t，(O)))，0∈[一r，0]成立时，有(t，(O))≤一∞(1(O)I)(9)则方程(8)的解=0是一致渐近稳定的[2．3】．2主要结果一～≮在本节中，我们将在较弱的条件下给出方程(6)零解稳定的判别法．图1定理2．1考虑时滞微分方程(5)，当条件(舻：~1／(2’ll"x(t)-l／(t41)x(t-O5)：Opu：』de,finedonI-I)5,0]；steg005b(t)>0且等等+1>(1口(f)l+6(f))r成立时，方程(5)的解=0是渐进稳定的．证明：由于a(t)，6(t)是连续

7、函数，且t>0方程(5)的解是可微的，所以当t>r时成立，o(t—r)=(￡)一J(t+0)dO∞=(1)一f[一a(t)x(t+0)一b(t)x(t+0一r)]d一o=(￡)+J[口(￡)(t+)+b(t)x(t+0一r)]d(1O)囝2于是，当t>r时，方程(5)可化为易见，当6()>o且等筹+1>(1口(t)l+(t)=一a()(t)一6(I)(t—r)=一a(t)x(t)一b(‘)(t)+6(t)I[口(t)(t+)6(t))r时，存在g>1使得葺筹+1一q(i口(f)I