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1、第40卷第14期数学的实践与认识Vol.40,No.142010年7月MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORY,2010利用变分迭代技术解时滞微分方程王吉安,赵新主(长沙理工大学数学与计算科学学院,湖南长沙410076)摘要:应用变分迭代法这种较新的迭代技术解具有初值条件的时滞微分方程.通过这种方法,获得了它的数值解和精确解.通过一些实例充分地说明了这种方法是有效地和便捷的,所得的值与精确解相比较,进一步表明了这种方法的可靠性和精确性.而且这种方法还能被应用到其它领域.关键词:变分迭代法;限
2、制变分;时滞微分方程1引言许多年来,在控制论中时滞微分方程经常被应用.近年来,在生物模型中也经常出现.从数学角度看,时滞微分方程其实是一种微分方程,其特殊之处是:根据前一段时间之值,在后一确定时间内得到一个未知函数.它反复出现在各种不同的数学领域.近年来,它的数值解的求解已经引起了越来越多的人的兴趣.例如:vlscyl]利用Lambertfunctions思想分析了时滞微分方程的解.EvanRaslan2]和AdomianRach[3一4]利用Adomiandeeompositionmethod求解了时滞微分
3、方程的近似解.shakeri和Dehghanls]利用同伦摄动方法得到了具有初值条件的时滞微分方程的近似解.何吉欢一]发展了变分迭代法.利用它解一些线性!非线性和具有初值和边值条件的间题.值得一提的是这种方法的本源来源于Inokti,Sekine和Mura[0].但是何吉欢挖掘了这种方法的潜能.近年来,变分迭代法已被广泛地应用到各种非线性间题中,如:分数次微分方程[l0],反应扩散方程1∀],积分微分方程[l2},发展型方程[l#一∀4!.这种方法已被证明对于解非线性问题是一种有力的数学方法.它是一种有效地!
4、逐步提高的方法,已被广泛地使用各种学种之中.它的求解步骤非常简单,只须通过变分理论和几步迭代得到精确度较高的解.本文的目的在于拓宽变分迭代法的可使用范围:即利用它解时滞微分方程.几个实例说明它对于解时滞微分方程是有效的.2变分迭代法为了说明变分迭代法的思想,我们考虑下列一般的非线性方程:∃L二(亡)+N%(亡)=g(云)(1)L表示线性算子,N表示非线性算子,或t)是非齐次项.收稿B期:201压02一24资助项目:广西自然科学基金(ZoioGxNs以013114);湖南省科技厅计划项目(ZogJTlo13)14
5、期王吉安,等:利用变分迭代技术解时滞微分方程209根据变分迭代法,序列%%(约(n全0)能被构建,而且序列收敛到其精确解%(t),通过下列校正泛函二%(约(n全0)能够被计算出来,校正泛函如下:(2)一()%一()∀+关{一(∃)+Non(∃)一%(∃)}d∃入表示Lagrange乘子,通过变分理论能最佳识别,下标n代表第%次近似,云%(t)认为是限制变分,即:战%(t)=0利用变分迭代法解方程(2),首先我们可以通过分部积分确定入的值,然后利用所得的入的值和选择的初始近似函数二%(t)很容易逐步得到它的近似解
6、,当然任意选择的初始近似函数%%(t)必须满足初值或边值条件.由于Lagrange乘子入可以确定,从而际(t)(n全0)很快可以通过迭代而得到.因此,对所得的蝙(t)(n全0)求极限便得到它的精确解,即:u=lim廿%(3)几一于00在下文中,变分迭代法成功的被用来求解时滞微分方程.3应用例题1我们考虑下列时滞微分方程梦,(t)=,(t)夕(t一l)一f(t),o∀t∀l(4)其中了(t)=一eZ∀一&+e∀,初值条件:,(0)=1(5)根据变分迭代方法,能够得到下列校正泛函:(6)%n一(*)一!(*)+丈∀
7、*(∃){!(∃)一%%(∃)!n(一1)一了(∃)}d∃通过如变分,能够得到下面的固定条件:1+入(s)}:_∀二0,入∀(s)=0(7)因此,我们能够得到人=一1(8)将(s)代入(6),我们能够得到,%+:(t)=如(t)一关{呱(s)一如(s),%(s一1)一f(s)}ds(9)我们选择初始近似函数加(t)二ae∀(10)将(10)代入(9),通过上面的迭代公式能够得到!了产,.r召!Z!了!1工,.,上2;1()%一*()∀一关&{∀(∃)一*()∃*(一∀)一了(∃,,d一考虑到边值条件,应有,;(
8、0)二l,所以我们得到未知常数a=1.从而有,l(t)=加(t)=et因此得到其精确解为川t)=et210数学的实践与认识40卷例题2考虑下面的二阶时滞微分方程吸.了!司,土上.勺4J尹了!,!.,∀&(云卜一2%,(蠢)%(;)+2%(∀一若)一∀(∀,∀,&初值条件:,(o)=0,,∀(0)=l它的校正泛函为如下形式J上1..r矛∀咨!O勺八了产!∀!∀!+1(,)一%%(亡)!
