广义时变时滞系统的时滞相关稳定准则

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1、鲁东大学学报(自然科学版)LudongUniversityJournal(NaturalScienceEdition)2014，30(1)：2l一24广义时变时滞系统的时滞相关稳定准则王銮，潘志同，王天成(鲁东大学数学与统计科学学院，山东烟台264039)摘要：利用时滞分解方法和线性矩阵不等式工具，研究了一类具有时变时滞的广义系统的渐近稳定性问题，得到了广义系统正则、无脉冲和渐近稳定的时滞相关充分条件．进一步，利用Matlab软件中的LMI工具箱求解，得到保证广义时滞系统渐近稳定的最大可容许时滞上界．最后仿真示例表明本文方法的有效性和可行性．关键词：广义时滞系统；时滞相关；时滞分解

2、方法；线性矩阵不等式；李雅普诺夫泛函中图分类号：TP273文献标志码：A文章编号：1673—8020(2014)01—0021—04对一个实际控制系统，时滞是普遍存在的，并且它们往往是导致系统不稳定和系统性能下降的主要原因，因而对时滞系统的研究具有重要的理论和实际意义．对时滞系统的渐近稳定性研究主要包括时滞无关和时滞相关』．在时滞较小的情况下，时滞相关的条件显然比时滞无关的条件优越，因而近十几年来众多学者主要分析了时滞相关的稳定性条件，提出了各种不同的研究方法_5J，其稳定性条件的保守性也在不断降低．广义系统是比正常系统更能准确地描述实际问题的动态系统J，随着科学技术的发展和大型工

3、程技术的需要，广义系统的研究受到了广泛的关注，其中对广义常数时滞系统的研究已有众多结果．2009年，文[14]针对具有常数时滞的线性系统提出了时滞分解方法，其主要思想是将整个时滞区间分成若干小区间，在不同的时滞子区间取不同的Lyapunov．Krasovskii泛函，该方法极大地降低了以前得到的系统稳定性结果的保守性．目前虽然已有利用时滞分解方法讨论时变时滞系统的稳定性和控制问题的相关成果，但仍有待完善．本文利用时滞分解方法，将时滞区间长度分成J7v等分，在每个子区间上定义不同的Lyapunov．Krasovskii泛函，结合Jensen不等式，得到广义时变时滞系统的时滞相关稳定性

4、条件．最后给出仿真示例，利用LMI工具，求得保证广义时变时滞系统解存在唯一、无脉冲且渐近稳定的最大可容许时滞上界．推广文[14]方法到时变时滞广义系统的情形．1问题描述考虑如下一类广义时变时滞系统：f(t)=Ax(t)+Al(t一丁(t))，⋯【(t)=(t)，￡∈[一d，0]．其中，()∈R“为系统的状态；E，，A为已知的适当维数常数矩阵且rankE≤／2；系统的状态时滞(￡)为时变函数且满足：0<丁(t)≤d，丁(￡)≤／x；(2)(￡)∈c[一d，0]为已知相容的初值函数．定义1【8设E，A同为n阶方阵，对于标量s，如果行列式det(sE—A)不恒等于零，则称矩阵对(E，A)

5、是正则的；若deg(1sE—A1)=rankE，则称矩阵对(E，A)无脉冲．收稿日期：2013—10—14；修回日期：2013—11．25基金项目：国家自然科学基金(11371226)作者简介：王銮(1987一)，女，山东枣庄人。硕士研究生，研究方向为鲁棒控制。E-mail：wangluan1987@126．com。通讯作者：王天成(1967一)，男，山东烟台人。教授，硕士研究生导师，博士，主要从事鲁棒控制、随机控制的研究。E-mail：cumt—wtc@163．corn。鲁东大学学报(自然科学版)第30卷引理1如果矩阵对(E，)是正则、无脉冲，则满足式(2)的时变时滞广义系统(1

6、)对任意相容初始函数(t)的解存在唯一且无脉冲．引理2对于任意实矩阵W∈R，wT=W>0，标量>0，向量函数：[t一，t]一R是可积的，则有以下不等式成立：(Jft(s)ds)W(f(s)ds)≤rf∞(s)阢(s)—ft—t—r2主要结果首先将区间(0，d]长度Ⅳ等分，即有Ⅳ个子区间(r，丁](0=丁o<1<⋯<丁<下Ⅳ=d，i=1，2，⋯，Ⅳ)，它们有相等的区间长度h=ⅣI考虑广义时变时滞系统(1)的渐近稳定性，有如下结论．定理1对给定的常数d，和等分数Ⅳ，广义时变时滞系统(1)对任意满足式(E2)的时变时滞丁(t)00$的解存在唯一、无脉冲且渐近稳定，如果存在阶矩阵P，对称正

7、定矩阵Q>0，Z>0，使得下列线性矩E阵不等式成立：一PE=EP≥0，(3)PA+AP<0，(4)一EZ1E000PAl+hATZAQ，·√JJ=lEZ2E00100●=：木：l：术乏一0：l：木丰术EZEi+h∑ATz／J1一Ez‘fE其中，i=1，2，⋯，Ⅳ，=AP+pTA+∑+h∑ATZIA—EzE，乏：一—ET(++)E(=1，2，J1J1⋯i一1，h=d／N．，证明若不等式(3)、(4)成立，则矩阵对(E，A)正则、无脉冲]，由引理2知广义时滞系统(1)的解