变分迭代算法在非线性微分方程中的应用

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1、第卷第期月动力学与控制学报年」《〕」〕万甲来变分迭代算法在非线性微分方程中的应用唐杰东华大学理学院,上海摘要应用何吉欢的变分迭代算法,求解了一类强非线性振动方程其中一阶近似解已有非常高的精度,并且得到的近似解在全域内一致有效关键词变分迭代算法非线性振动方程广义拉氏乘子周期解高的精度,而且对于弱非线性系统和强非线性系统引言都一致有效年,等〔’〕提出了求解非线性问题应用举例的拉氏乘子法,这种方法起初主要应用于量子力学其以下举例说明变分迭代算法在非线性微分方主要特点是以线性化了的方程的解作为近似解,引程中的应用进,

2、一拉氏乘子来校正某些特殊点的值但不能得到方程近似的解析解,因此该法没能得到广泛的应用何考虑方程吉欢对方法作了改进,并发展成为一种新一,厂不十十一的非线性分析方法—变分迭代算法〕这种方‘法可以有效地求解各种非线性问题本文讨论如其中初始条件为二和何运用变分迭代算法求非线性振动方程的近似解根据变分迭代算法,我们构造以下形式的校正泛函变分迭代算法,一一,、··十,〔一考虑一般形式的微分方程只二。。。乏〕式中为线性算子,为非线性算子,,,,,久,其中为限制变分量即叙为广义拉根据变分迭代算法我们需要构造一个含有广氏乘子义

3、拉氏乘子的校正泛函二,、,,·对进行独立变分可以得到以下驻值条,,卜一一击加件仁“〕,长几几,一」久一,,入’〕,。,,,式中为广义拉氏乘子表示限制变分量即一几,,母伙由条件,可识别拉氏乘子,然后根据变分理论对拉氏乘子进行最优化识久一别,并由此得出迭代方程将识别出的拉氏乘子久代人式可得以下迭在许多非线性微分方程中不存在小参数,所以代公式传统的摄动方法不能直接应用而变分迭代算法︺甩,,,,月、了,。不依赖于小参数的假设,从而避免了传统摄动法的二缺陷,。。和限制泛」使用该方法在一些情况下一阶精度已有非常令初始近似

4、为一一收到第稿,一一收到修改稿第期唐杰变分迭代算法在非线性微分方程中的应用二,￡二,。其中为一个不为零的待定常数显然,式已满足所有的边界条件,由变分一义·一—一迭代公式得一万丁丽一一—田‘刃丙兴为消除下一次迭代将会产生的长期项,可以令的系数为零,由此可确定。下二二十了扒,,扒￡二眼‘丁牡,,,”一互户于是得一阶近似乙冬,一叭万万下万田八—‘、冲、一田夕。了汀、了、出了,、、田且一⋯一其周期当一时汀田甲飞矛而方程的精确周期〕为刀刀‘二二二二二二,二二二二二二二二一二二,丫扒‘,丫一二于图精确解与一阶近似解的比较

5、扒。,式中当时有一一一撇认了屯砂由,图可见该法得到的一阶近似解精度就相当比较式与式可见,近似解对任意大理想。的参数都有效图显示了在不同情况下精确解其他方程与一阶近似解的比较再考虑以下非线性振动方程,￡,之兰一下,一,飞一汉‘·。··‘··一军只一一其中初始条件为和二·。。,、‘,‘,一式可改写成以下形式二构造以下形式的校正泛函之·,,十卜·,,卜丁、〔·二·卜。,,。。〕。。·。。。。一其中己二“,,,。。。〔为限制变分量又为广义拉氏乘子动力学与控制学报年第卷“,,对进行独立变分可以得到以下驻值条六二二件‘,

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8、参考文献南河南科学技术出版社,一柳咤妇段,诀肠嗯反加,一场一洲嘴阮何吉欢流体力学广义变分原理香港中国科学文化出,一版社,一,旋以反二,一’。刀,,为,,蚕去一,米〔万,肠,阴,肠,,,,六倪召九刁,毋劝肠即一阳,哟记,,,劝,段