变分方法在微分方程中的应用

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1、东南大学硕士学位论文变分方法在微分方程中的应用姓名：孟凤娟申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：张福保20061201摘要本文主要利屠变分方法申的极小作用原理和极小极大方法在适当的条件下讨论了二阶Hamilton系统及n维Dttifng塑系统周期解的存在性．在第一部分绪论中介绍了变分方法的相关基础知识，为下面研究的问题作了铺垫．在第二部分极小作用原理的应用中，首先介绍了周期解的存在到相应泛函临界点的转化和现有的用极小作用原理的一些结果，接着介绍了本文研究的结果即对现有的次凸情况作了完善并给出了证明，最后推广了本文研究的结果．第三部分关于极小

2、极大方法在微分方程中的应用，分别用鞍点定理和广义的山路引理对现有的次二次和超二次情况作了推广．关键词：变分方法；极小作用原理；鞍点定理；广义山路引理AbstractInthispaper，periodicsolutionsofsomesecond-orderHamiltonsystemsandn-dimessionzsy吣FfDuffmgTypearestudiedthroughtheleastactionprincipXeandminin'mxtheoremsin、，ariationalmetho凼．．InPartI，someessentia

3、lknowlegeofvariationalmethodsaleintroduced，theyareessen-tialandusefulforthefollowingdiscussingproblem．PartIIisdevotedtothe印plicationoftheleastactionprincipleonsecond-orderHamiltonsystems．Firstlyweintroducethetransformationoftheperiodicsolutionstothecorrespondingfunctionaland

4、someresultsobtainedbytheleastactionprinciple；secondlyweintroducethenewresultthatisimprovⅨtheknowedresultaboutsubconvex；lastlyimprovethenewresult．PartIIIisdevotedtotheapplicationoftheminimaxprincipleondifferentialequation，theknowedresulsaboutsubquadraticandsupquadratmsecondsy

5、stemsalegeneralizedandira-provedbythesaddlepointtheoremandthegeneralizedmountaintheoremrespectively．Keywords：variationalmethods；theleastactionprinciple；thesaddlepointtheorem；thegeneralizedmountaintheorem一，学位论文独创性声明东南大学学位论文独创性声明及使用授权的说明本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果．尽我

6、所知，除了文中特别如以标明和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料．与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意．二．关于学位论文使用授权的说明东南大学。中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采用影印，缩印或其他复翩手段保存论文．本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致．除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布(包括刊登)论文的全部或部分内容．论文的公布(包括刊登)授

7、权东南大学研究生院办理．签名t一名t；睁审喻一第一章绪论§1．1前言变分问题是自然界中的一条普遍原理．它是将自然界中的大量问题(称为变分同题)归结为求某一个泛函在一定条件下的极值问题或临界点问题．例如，微分几何学中的等周问题，测地线问题以及极小曲面问题等都可以看成变分问题；又如经济管理，优化与控制学科中。许多问题都可以归结为求目标函数在一定条件下的极值问题；再如在经典力学和场论中，我们知道，物质的运动规律都遵循Hamilton最小作用原理，即存在某个泛函，使得对应的运动方程就是这个泛函的Euler方程．因此，求解Euler方程便可化归为求其对应

8、的泛函的极值或临界点．古典变分问题主要是确定泛函的极值和极值点．对于这种特殊形式的临界点问题，在19世纪以前，一直是将其化为微分方程去求解的．Diri